- •Предисловие
- •Введение
- •Глава 1. Линейные пространства
- •§ 1. Введение
- •§ 2. Определение линейного пространства
- •§ 3. Свойства линейного пространства
- •§ 4. Линейная зависимость
- •§ 5. Базис и координаты
- •§ 6. Размерность
- •§ 7. Подпространства
- •Глава 2. Евклидовы пространства
- •§ 1. Введение
- •§ 2. Определение евклидова пространства
- •§ 3. Длина вектора
- •§ 4. Неравенство Коши-Буняковского
- •§ 5. Неравенство треугольника
- •§ 6. Угол между векторами
- •§ 7. Ортонормированный базис
- •Глава 3. Линейные операторы
- •§ 1. Определение линейного оператора
- •§ 2. Примеры линейных операторов
- •§ 3. Действия над линейными операторами
- •Глава 4. Преобразование координат
- •§ 1. Замена базиса
- •§ 2. Ортогональные преобразования
- •§ 3. Матрица оператора при замене базиса
- •§ 1. Задача о проекции вектора и перпендикуляре к нему
- •§ 2. Несовместные системы линейных уравнений
- •§ 3. Метод наименьших квадратов
- •Глава 6. Собственные векторы и собственные числа
- •§ 1. Определение собственных векторов и собственных чисел
- •§ 3. Собственные векторы симметричных операторов
- •§ 1. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
- •§ 2. Приведение двух квадратичных форм к каноническому виду
- •§ 3. Малые колебания механических систем
- •Глава 8. Элементы теории метрических пространств
- •§ 1. Определение метрического пространства
- •§ 2. Сходимость. Полные метрические пространства
- •§ 3. Принцип сжимающих отображений
- •Библиографический список
- •Предметный указатель
74
Отсюда находим три решения: μ1 =1, μ2 =2 , μ3 =3. Подставляя их в систему уравнений (7.20), находим координаты искомых базисных векторов
1, 0, 0 |
) |
, |
−1, 1, 0 |
) |
, |
2,−1, 1 , |
|
|
( |
|
( |
|
( |
) |
|
||
а тогда формулы перехода от старых координат x1, |
x2, x3 к новым y1, y2, y3 |
|||||||
имеют вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 = y1 − y2 +2y3 , |
|
x2 = y2 − y3 , x3 = y3 . |
(7.22) |
|||||
Данные квадратичные формы имеют следующий канонический вид
A(y,y)= y12 +2y22 +3y32 ,
B(y,y)= y12 + y22 + y32 .
Полученный результат легко проверить, если в правых частях равенств (7.18) и (7.19) заменить x1, x2, x3 соответствующими выражениям из (7.22).
§ 3. Малые колебания механических систем
Из курса «Теоретическая механика» известно, что положение механической системы с n степенями свободы задается с помощью n обобщенных координат
В случае голономных связей уравнения Лагранжа второго рода имеют
вид:
d |
|
∂T |
− |
∂T |
=Q |
, |
k=1,2,...,n |
, |
(7.23) |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
k |
|
( |
) |
|
|
dt ∂qk ∂qk |
|
|
|
|
|
|||||
75
где Qk – обобщенные силы, а T – кинетическая энергия системы, равная
половине суммы произведений масс точек системы на квадрат их скоростей, то есть выражается в виде некоторой квадратичной формы относительно
обобщенных скоростей
n |
n |
a q |
q |
|
, |
(7.24) |
T = ∑ |
∑ |
|
||||
i=1 j=1 |
ij i |
|
j |
|
|
|
коэффициенты которой зависят от координат q1, q2, ..., qn .
Для консервативных действующих сил элементарная работа равна уменьшению потенциальной энергии Π, которую также можно считать
выраженной через обобщенные координаты, при этом |
|
|
||||||
|
|
Q |
=− |
∂Π |
, |
k=1,2,...,n . |
(7.25) |
|
|
|
∂q |
||||||
|
|
k |
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
Пусть точка |
q0 |
, q0, ..., q0 |
|
означает |
состояние |
равновесия |
||
|
1 |
2 |
|
n |
|
|
|
|
рассматриваемой системы. В состоянии равновесия |
q1 = q2 =... = qn =0 , а |
|||||||
тогда кинетическая энергия системы равна нулю и все ее частные производные по qk также равна нулю, ибо они представляют собой линейные формы от q1, q2, ..., qn . Отсюда следует, что левые части уравнений Лагранжа
обращаются тождественно в нули и величины |
q0 |
, q0 |
, ..., q0 |
удовлетворяют |
||||
|
|
|
|
1 |
|
2 |
n |
|
уравнениям |
|
|
|
|
|
|
||
|
∂Π |
=0, |
k=1,2,...,n |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∂qk |
( |
) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
то есть положения равновесия системы возможны только в стационарных точках потенциальной энергии. Можно показать, что точка минимума потенциальной энергии отвечает устойчивому положению равновесия. Рассмотрим такую точку. Без ограничения общности можно считать, что в этой точке q10 = q20 =...= qn0 =0 и само значение потенциальной энергии также
76
равно нулю. Если ограничиться изучением движения системы в малой окрестности нулевой точки, то коэффициенты квадратичной формы T можно считать постоянными, равными своим значениям в нулевой точке. Если потенциальную энергию Π разложить в ряд Тейлора в окрестности точки q10 = q20 =...= qn0 =0 по переменным q1, q2, ..., qn и отбросить члены выше второго порядка, то получим квадратичную форму относительно координат
q1, q2 |
, ..., qn с постоянными коэффициентами (линейные члены относительно |
||||||||||||||||
q1, q2 |
, ..., qn будут отсутствовать, так как все частные производные от Π по |
||||||||||||||||
q1, q2 |
, ..., qn в положении равновесия равны нулю), то есть |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Π= |
n |
n |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
∑ b q q |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
i=1k =1 |
ij |
i |
|
|
j |
|
|
|
||
Так как обе |
квадратичные |
формы |
Π и |
T |
являются положительно |
||||||||||||
определенными, |
то |
|
существует |
|
линейное |
|
преобразование координат |
||||||||||
q1, q2 |
, ..., qn в координаты p1, |
p2, ..., |
pn |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
q = |
n |
|
|
, |
q |
= |
n |
|
|
|
, |
|
i=1,2,...,n , |
|||
|
∑ c p |
j |
∑ c p |
j |
|
||||||||||||
|
i |
j=1 |
ij |
|
i |
|
j=1 |
ij |
|
|
|
|
( |
) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
приводящие квадратичные формы Π и T к виду
T = ∑n pi2 ,
i=1
n |
|
Π= ∑ω2 p2 . |
|
i=1 |
i i |
|
|
77
В обобщенных координатах p1, p2, ..., pn уравнения Лагранжа (7.23) с
использованием (7.25) примут вид
p |
+ω2 p =0 |
, |
i=1,2,...,n |
, |
|
i |
i i |
|
( |
) |
|
решения которых могут быть записаны в виде
pi = Ai cosωi (t−ti ),
где константы Ai и ti определяются из начальных условий. Величины ωi
называются собственными частотами системы. Следовательно, каждая из координат pi совершает гармонические колебания с собственной частотой ωi .