23
§ 4. Неравенство Коши-Буняковского
Теорема. В евклидовом пространстве скалярное произведение произвольных векторов a и b не превышает произведения длин этих векторов, т. е. имеет место неравенство
( ) |
≤ a b . |
(2.5) |
a,b |
Заметим, что неравенство называют неравенством Коши-Буняковского. Доказательство. Для доказательства неравенства (2.5) заметим, что в согласии с условием 4 определения евклидова пространства, можем написать
(αa−b, αa−b)≥0, (2.6)
где α – любое вещественное число. Используя дважды условие 2, можем написать левую часть неравенства (2.6) в виде
(αa−b, αa−b)=(αa, αa−b)−(b, αa−b)=
=(αa, αa)−(αa, b)−(b, αa)+(b, b).
Воспользовавшись теперь условием 3, получим
(αa−b, αa−b)=α2(a, a)−α(a, b)−α(b, a)+(b, b).
Обратившись к условию 1, запишем неравенство (2.6) окончательно в
виде
α2 (a, a)−2α(a, b)+(b, b)≥0.
Влевой части последнего неравенства стоит квадратный трехчлен относительно α. Так как этот трехчлен неотрицателен при любом α, то его дискриминант не может быть положительным, т. е.
(a, b)2 −(a, a)(b, b)≤0.
Записав последнее неравенство в виде
(a, b)2 ≤(a, a)(b, b)
и извлекая, квадратный корень из обеих частей неравенства, получим (2.5).
24
§ 5. Неравенство треугольника
Для произвольных векторов a и b евклидового пространства выполняется неравенство
|
a+b |
|
≤ |
|
a |
|
+ |
|
b |
|
, |
(2.7) |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
называемое неравенством треугольника.
Для доказательства справедливости (2.7) заметим, что квадрат длины вектора a + b равен скалярному произведению вектора a + b на самого себя, т. е.
|
2 |
( |
) |
|
|
a+b |
= a+b, a+b |
. |
(2.8) |
||
Обращаясь последовательно к условию 2 в определении евклидова пространства два раза, а затем к условию 1, можем написать
(a+b, a+b)=(a, a+b)+(b, a+b)=(a, a)+(a, b)+(b, a)+(b, b)=
=(a, a)+2(a, b)+(b, b)= a 2 +2(a, b)+b 2 .
Используя неравенство Коши-Буняковского, получим
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|||
a+b, a+b |
≤ |
a |
2 +2 |
a |
|
b |
+ |
b |
2 = |
|
a |
+ |
b |
2 . |
(2.9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из сравнения (2.8) и (2.9) следует справедливость (2.7). Заметим, что если a и b означают векторы, изученные ранее в курсе геометрии, то неравенство (2.7) означает, что длина стороны треугольника не больше суммы длин других его сторон.
25
§ 6. Угол между векторами
Вначале заметим, что на основании неравенства Коши-Буняковского
(a, b)
можно утверждать, что величина a b меньше 1.
Поэтому можно ввести следующее определение.
( |
) |
называют |
||||||
Определение 1. Углом между векторами a и b a≠0, b≠0 |
|
|||||||
такое число ϕ (от 0 до π ), для которого выполняется равенство |
||||||||
cosϕ = |
( |
a, b) |
|
|
(2.10) |
|||
|
|
|
||||||
|
|
a |
|
b |
|
|
|
|
Определение 2. Векторы a и b называются ортогональными, если
выполнено равенство
|
|
( |
|
) |
=0 |
|
|
|
a, b |
|
(2.11) |
||
Если a и b – оба ненулевые, то это |
определение означает, что угол |
|||||
между a и b равен |
π |
. Нулевой |
вектор, по определению, |
считается |
||
|
2 |
|
|
|
|
|
ортогональным любому вектору.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. В пространстве векторов, изученных ранее в курсе геометрии,
→ → →
скалярное произведение определено известным образом. Орты i , j, k
попарно взаимно ортогональны.
26
Пример 2. В евклидовом пространстве одностолбцовых матриц, в котором скалярное произведение определено равенством (2.3), векторы
1 2
0 1
0 и 0
# #
0 0
ортогональны.
§ 7. Ортонормированный базис
Определение 1. Базис e1, e2, ..., en евклидова пространства R
называется ортогональным, если векторы базиса попарно ортогональны,
т. е.
( i |
,e |
j ) |
=0 |
при i ≠ j. |
e |
|
Если при этом все векторы базиса единичные, т. е.
|
e |
i |
|
( |
) |
|
|
=1, |
i=1, 2, 3, ..., n , |
||
то базис называется ортонормированным.
Теорема. Во всяком n -мерном евклидовом пространстве R имеются ортонормированные базисы.
Доказательство. Доказательство проведем для случая n =3. Пусть e1′, e′2, e′3 – произвольный базис пространства R. Докажем, что с его помощью можно построить ортонормированный базис. Положим e1 =e1′, e2 =e′2 +α1e1 ,
где α – некоторое вещественное число, которое мы подберем так, чтобы векторы e1 и e2 были ортогональны, то есть
(e′2 +α1e1, e1)=0 .
27
Используя условия 2 и 3 определения евклидова пространства, получим
(e′2, e1)+α1(e1, e1)=0 ,
откуда получим (так как |
e , e |
≠0) |
|
|
|
|
|
|
( 1 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
α =− |
(e′2 |
, e1) |
. |
(2.12) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
(e , e |
) |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
Итак, если в качестве α1 взять число, определяемое равенством (2.12), то векторы e1 и e2 будут ортогональны, а так как векторы e1′ и e′2 линейно независимы, то из формулы, определяющей вектор e2 , следует, что он не может стать нулевым. Вектор e3 определим с помощью равенства
e3 =e′3 +β1e1 +β2e2 , |
(2.13) |
|
где вещественные числа β1 и |
β2 определим так, чтобы вектор |
e3 был |
ортогонален к векторам e1 и e2 , |
т. е. чтобы выполнялись равенства |
|
(e′3 +β1e1+β2e2, e1)=0 ;
(e′3 +β1e1+β2e2, e2 )=0.
Используя, как и выше, условия 2 и 3 определения евклидова пространства, можем написать
′ |
1) |
|
1( 1 1) |
|
|
|
2 |
( |
|
2 |
|
1) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
( 3 |
|
+β |
|
|
=0; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
e |
, e |
|
|
+β |
e , e |
|
|
|
|
e |
|
|
, e |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
′ |
|
2 ) |
1( 1 |
2 ) |
|
|
|
2( |
|
2 |
|
|
2 ) |
|
|
|
|
||||||||||||
( 3 |
, e |
+β |
|
, e |
=0, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
e |
|
|
|
+β |
e , e |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
2 ) |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
и |
|
|
e |
2 |
|
|
(т. |
|
|
|
( |
1 |
=0), |
||||||
откуда, учитывая ортогональность векторов e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е. e , e |
|
|||||||||||||||||
получим выражение для β1 и β2 |
|
(e′3, e1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(e′3, e2 ) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
β =− |
, β |
|
|
|
=− |
. |
|
(2.14) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
(e , e ) |
|
2 |
|
|
|
|
(e |
2 |
, e |
2 |
) |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
28
Итак, если в качестве β1 и β2 взять числа, определяемые равенствами
(2.14), то вектор e3 будет ортогонален векторам e1 и e2 , так как векторы e1 , e2 , e′3 линейно независимы, то вектор e3 не может быть нулевым (вектор e3
выражается с помощью (2.13) в виде линейной комбинации векторов e1 , e2 , e′3 ).
Базис e1 , e2 , e3 – ортогональный. Но для того чтобы сделать его ортонормированным, следует каждый из векторов e1 , e2 , e3 поделить на его длину. Векторы
e1 |
; |
e2 |
; |
e3 |
||
|
|
|||||
|
|
|
||||
e |
|
e |
2 |
|
e |
3 |
1 |
|
|
|
|
||
образуют искомый ортонормированный базис.
Для случая n >3 этот процесс следует продолжать до тех пор, пока не найдем последний вектор.
Примененный здесь способ получения ортонормированного базиса из произвольного базиса носит название процесса ортогонализации.
Естественно, что каждый вектор a в n-мерном евклидовом пространстве R
можно представить в виде |
|
a =a1e1 +a2e2 +...+anen , |
(2.15) |
где e1, e2, ..., en – некоторый ортонормированный базис, a1, a2, ..., an –
координаты вектора в этом базисе. Отметим, что для координат a1, a2, ..., an
имеют место равенства
i |
( |
i ) |
( |
) |
a |
= a, e |
, |
i=1, 2, 3, ..., n , |
|
которые получатся, если умножить обе части равенства (2.15) на ei .