§2. Приведение двух квадратичных форм к каноническому виду

70

и указать соответствующий базис в пространстве R.

Можно показать, что эта задача не всегда имеет решение. Если же

допустить дополнительно, что одна из этих форм, например положительно определенная, то поставленная задача имеет решение.

Для того чтобы в этом убедиться обозначим через B(x,y)симметричную билинейную форму, соответствующую квадратичной форме B(x,x) и в

пространстве R евклидову метрику, положив

(7.13)

Так как квадратичная форма симметричная и положительно определенная, то аксиомы скалярного произведения выполняются.

Ранее было показано, что существует ортонормированный базис (относительно введенной нами метрики), в котором квадратичная форма принимает вид

где x1, x2, ..., xn – координаты вектора x в построенном базисе.

В этом же базисе вторая квадратичная форма B(x,x)имеет вид

B(x,x)= x12 +x22 +...+xn2 ,

а это значит, что базис, в котором обе квадратичные формы A(x,x)и B(x,x)

имеют канонический вид, существует.

Для того чтобы найти координаты векторов искомого базиса, рассмотрим

Задача об определении стационарных значений есть задача на условный экстремум. Для решения воспользуемся методом Лагранжа. Будем считать, что

и приравняем нулю каждую ее частную производную по всем координатам x1, x2, ..., xn . Получим систему n однородных уравнений

72

которая имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю, то есть

Решив уравнение (7.17), мы найдем n корней μ1, μ2, ...,μn , подставляя

их последовательно в систему (7.16) мы будем находить координаты соответствующего искомого базисного вектора. Доказано, что уравнение (7.17) имеет только вещественные корни, причем каждому кратному корню соответствует столько линейно независимых решений системы (7.16) какова его кратность. Находить эти линейно независимые решения следует используя правила решения однородных систем линейных уравнений.

Показано также, что коэффициенты λ1, λ2, ..., λn в канонической

к каноническому виду и получить формулы перехода от старых координат к новым.

73

В нашем случае функция F(x1, x2, x3 )будет иметь вид

F(x1, x2, x3 )= x12 +2x1x2 +3x22 +2x2 x3 −2x1x3 +6x32 −

или после вычисления определителя

(1−μ)(μ2 −5μ+6)=0 .