Алгоритм решения задач статики

1. Выбирают систему отсчёта.

2. Выбирают тело, к которому приложена система уравновешивающихся сил.

3. Показывают все действующие на тело активные нагрузки.

4. Согласно аксиоме связей действие связей на тело заменяют соответствующими реакциями связей.

5. К полученной системе сил применяют уравнения равновесия, соответствующие этой системе сил.

6. Из уравнений равновесия определяют неизвестные величины.

1.8. Пример решения задачи на плоскую сходящуюся систему сил

Два стержня АС и ВС соединены шарнирно в узле С, к которому через блок D подвешен груз 1 весом 12 Н (рис. 1.33).

Определить реакции стержней АС, ВС, если угол  = 60^о.

Рис. 1.33

Решение. Решаем задачу по изложенному алгоритму.

1. Выбираем правую систему отсчёта OYZ.

2. Вырезаем узел С и рассмотрим его равновесие.Активных сил к узлу С не приложено. Следовательно, Σ F_i^E = 0.

3. От узла С отбрасываем невесомые стержни АС и ВС и показываем реакции R_A и R_B. Эти реакции направлены вдоль стержней. Условимся рассматривать их растянутыми. Отбрасываем нить и показываем на рисунке реакцию Т нити. Нить растянута. Модуль Т реакции Т равен весу G груза 1.

4. На узел С действует плоская система сходящихся реакций связей. Поскольку Σ F_i^E = 0, то геометрическое условие равновесия приобретает вид Σ R_i^E = R_A + R_B + T = 0. Аналитические условия равновесия выражаются двумя уравнениями:

Σ = 0 = – R_A·sin() + R_B·cos() + T = 0; (1)

Σ = 0 = R_A·cos() + R_B·sin() = 0. (2)

5. Из уравнения (2) определим R_A = – R_B·= – R_B·tg(). При подстановке R_A в уравнение (1) имеем

R_B·tg()·sin() + R_B·cos() + T = 0.

Откуда

R_B = – =

= – = – 6 Н.

Так как R_B  0, то стержень ВС сжат.

R_A = – R_B·tg() = – (– 6)·1,732 = 10, 392 Н.

Так как R_A > 0, то стержень АС растянут.

Вопросы и задания для самоконтроля

1. Сформулировать определение термина «проекция силы на ось».

2. Записать формулы для определения проекций силы F на координатные оси декартовой системы отсчёта OXYZ.

3. Записать формулу для определения силы F через компоненты этой силы в декартовой системе отсчёта OXYZ.

4. Записать формулы для определения направляющих косинусов силы в декартовой системе отсчёта OXYZ.

5. Записать формулы для определения проекций равнодействующей системы сходящихся сил в декартовой системе отсчёта OXYZ.

6. Записать формулу, выражающую геометрическое условие равновесия сходящейся системы сил.

7. Записать уравнения равновесия для пространственной системы сходящихся сил в декартовой системе отсчёта OXYZ.

8. Записать уравнения равновесия для плоской системы сходящихся сил в декартовой системе отсчёта OXYZ.

1.9. Пара сил

Пару сил в механике рассматривают как одно из основных понятий, наряду с понятием силы.

Пара сил – система двух параллельных, противоположно направленных и равных по модулю сил, не лежащих на одной прямой.

Плоскость действия пары сил – плоскость, в которой находятся линии действия сил.

Плечо пары сил – кратчайшее расстояние (длина перпендикуляра) между линиями действия сил, составляющих пару сил.

На рис. 1.34 изображена пара сил, плоскость действия которой лежит в плоскости OXY системы отсчёта OXY.

Силы F₁, F₂ образуют пару сил. F₁ = F₂; F₁ = – F₂. Однако силы пары не уравновешиваются, так как они направлены не по одной прямой. Пара сил стремится произвести вращение тела, к которому она приложена. Действие пары сил на тело характеризуется её моментом.

Д

Рис. 1.34

ля количественной характеристики действия пары сил на тело и указания направления, в котором пара сил стремится вращать тело, вводится понятиеалгебраического момента пары сил.

Алгебраический момент пары сил – величина, равная взятому с соответствующим знаком произведению модуля одной из сил на её плечо.

M = ± F₁·h = ± F₂·h.

Алгебраический момент пары сил считают положительным, если пара сил стремится повернуть тело против вращения часовой стрелки, и отрицательным, если в сторону вращения часовой стрелки. В системе СИ момент пары сил измеряется в Н·м.

Н

Рис. 1.35

а рис. 1. 35 изображена пара сил (F₁, F₂), линии действия которых лежат в плоскости OXY.

Момент пары сил – векторная мера механического действия пары сил, равная моменту одной из сил пары относительно точки приложения другой силы.

Момент пары сил изображается вектором М. Вектор момента М пары сил (F₁, F₂) направлен перпендикулярно к плоскости действия пары сил в сторону, откуда видно пару сил, стремящуюся вращать плоскость её действия в сторону, противоположную вращению часовой стрелки. Согласно определению (см. рис. 1.35), M  j, M  i, M = F₁h = F₂·h. Таким образом, пара сил полностью характеризуется её моментом M.

Теорема. Пары сил, лежащие в одной плоскости, эквивалентны, если их алгебраические моменты численно равны и одинаковы по знаку.

Доказательство этой теоремы несложно и здесь оно не приводится.