§11. Импульс. Закон сохранения импульса

 Литература: [7] (§ 9), [8] (§ 7), [2] (§ 21), [9] (§§ 1–4).

 Разъяснения и дополнения.

 В соответствии с теоремой Нётер докажем, что инвариантность уравнений Лагранжа относительно пространственного сдвига (замена всех _i на _i + , где  = const) ведет к существованию векторной сохраняющейся величины – импульса.

Рассматриваемую систему N частиц можно считать свободной, если учитывать все силы, приложенные к частицам, включая силы реакции. В качестве обобщенных координат тогда нужно брать координаты (или радиус-векторы _i) каждой частицы. Обобщенными силами Q_j’ станут проекции сил _i’, действующих на каждую частицу. Уравнения Лагранжа примут вид:

– = _i’, i = 1, 2, …, N. (11.1)

Если в лагранжиан не включать внешнюю потенциальную функцию, то величины_i’ представляют все внешние силы и внутренние непотенциальные.

Пусть при неизменных внешних условиях лагранжиан рассматриваемой системы не меняется, то есть

_i  _i+ 

L = 0 . (11.2)

Это условие обеспечивает инвариантность уравнений Лагранжа относительно пространственного сдвига, то есть однородность пространства.

В самом деле, пространственный сдвиг не повлияет на правые части уравнений (11.1), так как система должна оставаться в неизменных условиях. Левые части, вследствие соотношения = const, также сохранят свой вид, если только не изменится L (то есть будет справедливым равенство (11.2)). Так что уравнения Лагранжа не изменятся – они инвариантны относительно пространственного сдвига.

Представив  L в виде

L = _i + _i

и учтя, что _i = , а _i = 0, получим из (11.2) уравнение

= 0. (11.3)

С помощью (11.1) уравнение (11.3) можно привести к виду

= . (11.4)

Величину

_i = = = = m_{i i} (11.5)

называют импульсом частицы, а

_i = = (11.6)

– импульсом системы частиц.

Из-за третьего закона Ньютона входящая в правую часть (11.4) сумма внутренних (непотенциальных) сил равна нулю. Остается лишь сумма внешних сил:

= . (11.7)

Эту сумму называют главным вектором внешних сил.

Подстановка (11.5), (11.6) и (11.7) в (11.4) приводит к закону изменения импульса системы:

= , илиd = dt, (11.8)

то есть малое изменение импульса системы равно произведению главного вектора внешних сил на время изменения импульса.

 Импульс системы (11.6) можно выразить через массу системы M = и скорость движения ее центра масс (центра инерции):

= M _C, (11.9)

где _C– радиус-вектор центра масс, определяемый формулой (9.3).

Объединяя (11.9) и (11.8), получим теорему о движении центра масс:

M = . (11.10)

Соотношения (11.9) и (11.10) вскрывают точный смысл того свойства центра масс, которое часто выражают словами «в центре масс как бы сосредоточена вся масса тела». Имеется в виду, что моделируя систему точкой (центром масс), в которой сосредоточена вся масса системы, можно просто и правильно рассчитать импульс системы и движение этой точки.

 Некоторые важные положения

Закон изменения импульса (11.8) часто используют в интегральной форме: изменение импульса системы равно суммарному импульсу внешних сил. Это выражается формулой:

₂ – ₁ = t. (11.11)

Здесь – среднее за время t значение главного вектора внешних сил.

Закон сохранения импульса утверждает: в замкнутой системе импульс сохраняется. Не следует забывать, что замкнутой называют систему, на которую не действуют внешние тела.

Следствием закона (11.8) является уравнение Мещерского, описывающее движение тел переменной массы:

m = + . (11.12)

В этом выражении – скорость тела переменной массы, а– скорость частиц, отделяющихся от рассматриваемого тела, в системе отсчета, связанной с ним.

? Задания и контрольные вопросы

1. Что означает термин «однородность пространства»?

2. Что такое импульс системы?

3*. Выведите закон изменения импульса.

4. Проиллюстрируйте сохранение импульса конкретными примерами.

5. Почему при решении задач механики предпочтительнее использовать закон изменения импульса, а не закон сохранения? В чем заключается особая ценность закона сохранения импульса?

6*. Выведите уравнение Мещерского.

7. Расскажите об алгоритме использования закона изменения импульса при решении задач.

8. Приведите примеры явлений, для анализа которых следует использовать уравнение Мещерского.

9*. Проиллюстрируйте использование уравнения Мещерского примером 14.2 [1].