§12. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса

 Литература: [7] (§ 10), [8] (§ 9).

 Разъяснения и дополнения

 Изотропия (изотропность) пространства обеспечивается неизменностью функции Лагранжа при повороте системы на малый угол :

_i  _i+ [,_i]

L = 0 . (12.1)

Связь перемещения _i произвольной точки с углом поворота ,

_i = [d,_i] ,

ясна из рисунка 11.

Исходя из условия (12.1) и уравнений (11.1) (с правой частью), можно получить закон изменения момента импульса:

= , илиd= dt. (12.2)

= – момент импульса системы, а = – главный момент внешних сил.

Формула для отличается от формулы для лишь заменой_i на _i. Поэтому проекция момента импульса L_Z находится аналогично проекции момента сил M_Z (рис. 9).

Законы (11.8) и (12.2) можно рассматривать как частные случаи общего закона изменения обобщенного импульса:

= Q_j’. (12.3)

Углу поворота  соответствует обобщенная сила, представляющая собой момент силы относительно оси поворота Z (§ 7), то есть Q _j’ = Q _’ = M_Z. Поэтому из сопоставления (12.3) и (12.2) приходим к заключению, что

P_ = L_Z = . (12.4)

 Некоторые важные положения

Закон сохранения момента импульса – в замкнутой системе момент импульса сохраняется – в классической механике следует из закона изменения (12.2), но зато допускает обобщение, выходящее за рамки классической механики.

Для абсолютно твердого тела, вращающегося вокруг оси Z с угловой скоростью  момент импульса относительно оси вращения

L_Z = I = I  (12.5)

где I – момент инерции тела.

Момент импульса системы относительно произвольной точки связан с моментом импульса _C относительно центра масс соотношением

= _C + [_C, ] , (12.6)

где – импульс системы, а _C – радиус-вектор центра масс.

Отсюда следует, что в системе центра масс (= 0) момент импульса не зависит от того, относительно какой точки он вычисляется. Его называют собственным моментом импульса.

Момент импульса в произвольной системе отсчета складывается из собственного момента импульса _C и момента импульса центра масс, то есть величины [_C, ].

? Задания и контрольные вопросы

1. Что такое изотропия пространства?

2*. Выведите закон изменения момента импульса.

3. Что такое момент импульса системы? От чего он зависит?

4*. Как подсчитать момент импульса частицы относительно некоторой оси?

5. При каких условиях момент импульса системы относительно оси является интегралом движения?

6. Какое действие на систему оказывают две силы, равные по модулю и противоположно направленные (пара сил)?

7*. При каких условиях сумма всех сил, приложенных к системе, является равнодействующей?

8*. Выведите формулу (12.5).

9*. Выведите соотношение (12.6).

§13. Использование сохраняющихся величин при описании одномерного движения

 Литература: [3] (§ 13), [8] (§ 11).

 Некоторые важные положения

Кинематическое уравнение одномерного движения (x = x(t)) консервативной механической системы, например, частицы, движущейся вдоль оси x в потенциальном поле U(x), может быть получено непосредственно из факта постоянства энергии E такой системы. Оно является решением уравнения

= , (13.1)

где m – масса частицы, U(x) – потенциальная функция системы (внешняя потенциальная энергия частицы).

Выражение (13.1) используется при качественном графическом исследовании движения. С этой целью на график потенциальной функции U = U(x) накладывают график прямой E(x) = E = const. Аналогичный метод используется и при анализе движения в центральном поле (рис. 15).

 Одномерное финитное движение консервативной системы является колебательным. Период колебаний  может быть вычислен по формуле

=, (13.2)

где x₁ и x₂ – корни уравнения Е – U(x) = 0.

? Задания и контрольные вопросы

1. Получите уравнение (13.1). Какой физический смысл имеют знаки перед корнем?

2. Расскажите о качественном графическом исследовании одномерного движения консервативной системы.

3. Расскажите о финитном и инфинитном движениях и о точках остановки.

4*. Объясните, почему одномерное движение консервативной системы является колебательным, а время движения от одной точки остановки до другой составляет половину периода.

5. Зависит ли период одномерных колебаний консервативной системы от амплитуды?

6*. Вычислите по формуле (13.2) период колебаний гармонического осциллятора, то есть системы с потенциальной функцией U = k x² / 2.