§21. Интегралы движения. Скобки Пуассона

 Литература: [8] (§ 42), [3] (§ 34).

 Некоторые важные положения

 Скобками Пуассона для величин H и f называют выражение вида:

{H, f} = . (21.1)

 Полная производная по времени величины f, зависящей от обобщенных координат q_j и импульсов p_j, может быть подсчитана так:

= + {H, f}, (21.2)

где H – гамильтониан системы.

 Если величина f явно не зависит от времени и ее скобки Пуассона с гамильтонианом равны нулю, то она является интегралом движения.

 Для скобок Пуассона произвольных величин f и g справедливы тождества:

{f, g} = – {g, f}, (21.3)

{f₁+f₂, g} = {f₁, g} + {f₂, g}, (21.4)

{f₁ f₂, g} + f₁ {f₂, g} + f₂ {f₁, g}. (21.5)

 Канонические уравнения Гамильтона приобретают особенно симметричный вид, если использовать скобки Пуассона:

= _j = {H, q_j} ; – = _j = {H, p_j}. (21.6)

? Задания и контрольные вопросы

1. Что такое интегралы движения? Приведите примеры интегралов движения.

2*. Выведите формулу (21.2).

3. Расскажите о скобках Пуассона.

4. Как с помощью скобок Пуассона находятся интегралы движения?

5*. Докажите соотношения (21.6).

6*. Докажите с помощью скобок Пуассона, что в центральном поле момент импульса является интегралом движения.

§22. Функционал и его вариация. Уравнение Эйлера

 Литература: [1] (§ 24.3), [3] (§ 31), [7] (Приложение III).

 Разъяснения и дополнения

 Имеется несколько отличающихся по форме, но эквивалентных систем динамических уравнений, описывающих эволюцию механических систем.

Законы Ньютона, уравнения Лагранжа и Гамильтона устанавливают соотношения, справедливые для действительно реализуемого движения системы в произвольный момент времени.

Уравнения Даламбера – Лагранжа выражают дифференциальный вариационный принцип. В этих уравнениях фигурируют соотношения для виртуальных перемещений, то есть таких малых перемещений, которые в рассматриваемый момент можно себе вообразить и которые не нарушают связей.

Имеются иинтегральные вариационные принципы, в которых анализируются величины, относящиеся к воображаемым движениям в течение большого промежутка времени. Из этих возможных движений отбирается по определенному критерию то, которое на самом деле происходит – истинное движение. Математическим аппаратом интегральных вариационных принципов является вариационное исчисление.

На рисунке 22 изображены несколько функций q(t), имеющих одинаковые значения на концах промежутка [t₁, t₂]. Вертикальные отрезки иллюстрируют вариации функций q = q(t).

Величина

S = = S [q(t)], (22.1)

где L – некоторая интегрируемая функция, представляет собой функционал, заданный на рассматриваемом классе функций.

 Некоторые важные положения

 Основные понятия вариационного исчисления аналогичны соответствующим понятиям математического анализа.

Функция каждому элементу некоторого множества чисел ставит в соответствие число. Функционал же определенное число ставит в соответствие каждой функции какого-то класса.

 Вариация функционала S [q₁(t), q₂(t), ..., q_j(t), ...] определяется соотношением

S = q_j. (22.3)

 Функция q₀(t), для которой функционал S [q(t)] принимает экстремальное значение, называется экстремалью функционала.

 Для достижения экстремального значения функционала S [q_j(t)] необходимо, чтобы его вариация (22.3) обращалась в нуль при произвольныхвариациях q_j.

 Л. Эйлер решил задачу об экстремали функционала

S [q(t)] = , (22.4)

где под знаком интеграла – произвольная интегрируемая функция, а вариации функций q(t) на границах интегрирования равны нулю.

 Вариация функционала (22.4) может быть представлена в виде:

t₁

t₂

S = q + dt dq. (22.5)

 Уравнение Эйлера

–= 0 (22.6)

с граничными условиями q(t₁) = q₁ и q(t₂) = q₂ определяет экстремаль функционала (22.4) на классе функций q(t) с фиксированными значениями на концах промежутка [t₁, t₂] (рис. 22).

 Примером применения уравнения Эйлера может служить задача о брахистохроне.

 В общем случае, когда функционал зависит от нескольких (s) функций, в записанных выше выражениях функции q(t) нужно заменить множеством функций {q_j(t)} и вставить в необходимых случаях знак суммирования. При этом (22.6) заменяется системой уравнений Эйлера:

– = 0 , (22.7)

где j = 1, 2, ..., s.

? Задания и контрольные вопросы

1. Расскажите о дифференциальных вариационных принципах механики и об идее интегральных вариационных принципов.

2. Расскажите о функции и функционале.

3. Расскажите о дифференциале аргумента и о вариации функции.

4. Расскажите о нахождении экстремума функции и функционала.

5*. Докажите, что последовательные операции варьирования и дифференцирования функций можно менять местами.

6*. Выведите формулу (22.5).

7*. Выведите уравнение Эйлера.

8. Расскажите об уравнении Эйлера.

9*. Расскажите о брахистохроне.