§2. Кинематика частицы

 Литература:[1] (§§ 1.2, 1.3, 1.4) или [3] (§§ 2.1, 2.2).

 Некоторые важные положения

 Закон сложения скоростей:

_A1 = _A2 + ₂₁ ,

где _A1 и _A2 – скорости частицы А относительно систем отсчета 1 и 2 соответственно, ₂₁ – скорость той точки системы отсчета 2 относительно системы 1, в которой в данный момент находится рассматриваемая частица.

 Цилиндрические координаты , , z связаны с декартовыми координатами x, y, z соотношениями, которые нетрудно получить из рисунка 2:

x =  cos ; y =  sin ; z = z.

Скорость и ускорение находятся по формулам:

=_ +  _+ _z ,

= w_{ } + w_{ } + w_zz ,

w_ = –  ² , w_ = , w_z= .

 Сферические координаты , , , как видно из рисунка 3, выражаются через декартовы координаты следующим образом:

x = r sin( cos(; y = r sin() sin(; z = r cos(.

Для скорости и ускорения получаются формулы:

= _r+ r _+ r _ ,

= w_{r r} +w_{ } +w_{ } ,

w_r = – r (² + ² sin²()),

w_ = – r²sin( cos(,

w_= .

 При траекторном методе описания движения используется алгебраическая скорость v_a = ds / dt, где s – траекторная координата, то есть длина участка траектории от выбранного начала, взятая со знаком «+» или со знаком «–» в зависимости от избранного положительного направления вдоль траектории. Скорость = v_a, где– единичный вектор касательной к траектории в данной точке.

Ускорение = _ + _n.

Тангенциальное ускорение_ = = ,нормальное –_n = . Величина – единичный вектор нормали к траектории в данной точке, R – радиус кривизны траектории.

? Задания и контрольные вопросы

1. Расскажите об основных величинах, используемых в кинематике частицы.

2.Расскажите о законе сложения скоростей. Какие свойства пространства и времени отражаются этим законом?

3. Расскажите об описании движения частицы методом декартовых координат.

4. Расскажите об описании движения частицы методом цилиндрических координат.

5. Расскажите об описании движения частицы методом сферических

координат.

6. Расскажите о кинематических величинах, которые используются в траекторном (естественном) методе описания движения частицы.

7. Как меняется модуль скорости частицы, если ускорение образует:

а) острый угол с направлением скорости,

б) тупой угол с направлением скорости,

в) прямой угол с направлением скорости?

8. Как в траекторном методе вычисляются ускорение и радиус кривизны траектории?

§3. Кинематика абсолютно твердого тела

 Литература:[3] (§2.3, §2.4), [4] (II §§ 2 – 4).

 Некоторые важные положения

 Вращательное движение абсолютно твердого тела.

Скорость произвольной точки тела, вращающегося с угловой скоростью , находится по формуле Эйлера:

= [],

где – радиус-вектор точки, отсчитанный от оси вращения. Модуль этой скорости v = . Здесь – расстояние от рассматриваемой точки до оси вращения.

Ускорение точки

= [] + [] , где

= ; |[]| =  r = w_; |[]| = ² r =w_n; w = .

 Плоскопараллельное движение сводится к плоскому движению.

Для плоского движения справедлива теорема Шаля, которая выражается формулой:

_A = _AC + _C .

Входящие сюда величины изображены на рисунке 4. _A – скорость

точки А, _C –- скорость точки С, _AC – скорость вращения точки А относительно С.

_AC = [],  v_AC =  r.

Если_C = 0, то С – мгновенная ось вращения. Нахождение мгновенной оси ясно из рисунка 5.

Теорема о проекциях скоростей точек абсолютно твердого тела: проекции скоростей двух произвольных точек абсолютно твердого тела на прямую, их соединяющую, равны, то есть

v_B cos() = v_A cos() (рис. 6).

Ускорение _A произвольной точки A абсолютно твердого тела, совершающего плоское движение, определяется соотношениями:

_A =_C +_AC,

_AC =_n + _, w_n = ² r, w_ =  r.

Направления векторов показаны на рисунке 7. _C – ускорение одной из точек тела, лежащей в рассматриваемой плоскости, _AC – ускорение вращательного движения точки А относительно оси С, r – расстояние между точками А и С.

? Задания и контрольные вопросы

1. Что такое «абсолютно твердое тело» ?

2. Расскажите о поступательном движении абсолютно твердого тела и его описании.

3. Расскажите о вращательном движении абсолютно твердого тела вокруг некоторой оси и его описании.

4. Расскажите о плоскопараллельном и плоском движениях абсолютно твердого тела.

5. Какой смысл имеет высказывание: «При плоском движении тело одновременно участвует в двух движениях – поступательном и вращательном»?

6. Расскажите о мгновенной оси (центре) и об использовании этого понятия при анализе плоского движения.

7*. Докажите теорему о проекциях скоростей двух точек абсолютно твердого тела.

8. Как определить ускорение произвольной точки твердого тела, совершающего плоскопараллельное движение, если известно ускорение другой его точки?