VI. Уравнения гамильтона и иные законы эволюции §20. Уравнения Гамильтона
Литература: [[8] (§ 40), [3] (§ 33).
Разъяснения и дополнения
Уравнения
Лагранжа (8.6) описывают эволюцию
механической системы посредством
лагранжиана L, представляющего собой
функцию независимых переменных qj,
j
и t. Дифференциал функции Лагранжа в
этих переменных имеет простой стандартный
вид:
dL
=
+
dt , (20.1)
где
pj
=
– обобщенные импульсы, а j = 1, 2, ..., s.
Выражение (20.1) можно преобразовать, выделив полный дифференциал некоторой функции независимых переменных qj, pj и t:
d
=
–
dt. (20.2)
Функция
H
=
– L = H(qj,
pj,
t) (20.3)
называется функцией Гамильтона (гамильнонианом). Из (20.2) следуют такие выражения для частных производных функции Гамильтона:
=
j
(20.4)
и
= –
.
Правую часть последнего равенства можно выразить из уравнений Лагранжа, после чего получим:
= –
j
+ Qj’
. (20.5)
Уравнения (20.4) и (20.5) называют уравнениями Гамильтона.
Поскольку они получены из (8.6) и (20.1), то, подобно уравнениям Лагранжа, также описывают эволюцию системы.
При Qj’ = 0 уравнения Гамильтона приобретают симметричный относительно переменных pj и qj вид. В этом случае их называют каноническими уравнениями Гамильтона, а переменные pj и qj – канонически сопряженными переменными.
Канонически сопряженные переменные из-за симметрии канонических уравнений Гамильтона оказываются равноправными: преобразование pj’ = qj, qj’ = – pj не меняет вида этих уравнений.
Равноправие канонически сопряженных переменных делает целесообразным использование пространства всех канонически сопряженных переменных (фазового пространства) для описания состояния механической системы и ее эволюции.
Чтобы записать гамильтониан конкретной системы, нужно:
1)
выразить через обобщенные координаты
qj
и обобщенные скорости
j
кинетическую энергию T;
2)
найти обобщенные импульсы pj
=
=
;
3) выразить величину H = T + U через обобщенные координаты и импульсы.
Некоторые важные положения
Уравнения Гамильтона – дифференциальные уравнения первого порядка; их число 2s вдвое больше числа уравнений Лагранжа.
Функцией Гамильтона называют выраженную через обобщенные координаты и импульсы сумму кинетической энергии и потенциальной функции:
H = T + U = H(qj, pj, t). (20.6)
При
=
= 0 гамильтониан представляет собой
полную механическую энергию системы.
Гамильтониан
частицы массой m, движущейся в поле
U(
),
имеет вид:
H
=
+ U(
), (20.7)
где p – модуль ее импульса.
? Задания и контрольные вопросы
1. Что имеют общего и чем отличаются друг от друга уравнения Лагранжа и уравнения Гамильтона?
2. Расскажите о функции Гамильтона.
3. Приведите выражение (20.1) к виду (20.2).
4*. Выведите уравнения Гамильтона.
5*. Расскажите о канонически сопряженных переменных и о фазовом пространстве.
6*. Докажите равноправность канонически сопряженных переменных.
7.
Запишите уравнения Гамильтона для
частицы, движущейся в поле U(
).