§9. Теорема Кёнига. Применение уравнений Лагранжа. Равновесие потенциальной механической системы

 Литература: [1] (§§ 13.6, 18.1, 19.5, пример 20.8), [3] (§ 50).

 Разъяснения и дополнения

 Чтобы решить конкретную задачу с помощью уравнений Лагранжа, прежде всего нужно составить лагранжиан, который включает в себя кинетическую энергию системы. Нахождение последней облегчает теорема Кёнига.

 Теорема Кёнига утверждает, что кинетическая энергия системы частиц складывается из кинетических энергий поступательного движения со скоростью центра масс и движения в системе центра инерции, то есть в поступательно движущейся системе отсчета, связанной с центром масс:

T = M_С² / 2 + T_отн . (9.1)

T_отн = , i = 1, 2, ..., N .(9.2)

M = – масса всей системы, _iC – скорость i-й частицы в системе центра масс (центра инерции).

 Центром масс называют точку, радиус-вектор которой, отсчитанный от начала О, определяется соотношением:

_С = _СO = / M . (9.3)

 Для доказательства теоремы Кёнига перейдем от системы отсчета с началом в точке О к системе отсчета с началом в другой точке – А (рис. 10).

_iO = _iА + _АO . (9.4)

Подставив это выражение в соотношение T = , получим:

T = + + _АO(). (9.5)

На основании формулы (9.3) скобка в (9.5) равна M_CА. Если точку А совместить с центром масс С, то_СA = _СC = 0 и соотношение (9.5) совпадет с (9.1).

 Теорема Кёнига вскрывает важное физическое свойство центра масс, то есть точки, формально определяемой выражением (9.3). Именно эта точка фигурирует в выражении (9.1), определяющем кинетическую энергию системы.

 Условия равновесия консервативной системы можно получить из принципа виртуальных перемещений Бернулли: A = = = 0, следовательно,

Q_j = – = 0 . (9.6)

Это условие означает, что в состоянии равновесия потенциальная энергия U(q_j) имеет стационарное значение.

 Применяя уравнения Лагранжа к свободной от внешних воздействий консервативной системе (Q_j’= 0), получим при = 0 следующее соотношение для обобщенного импульса:

p_j = = const . (9.7)

Обобщенные координаты, от которых не зависит функция Лагранжа, называют циклическими координатами. Так что обобщенный импульс, соответствующий циклической координате, сохраняется в консервативной системе, свободной от внешних воздействий. В положении равновесия все величины = – = 0, если, как это часто бывает, = 0. Поэтому при равновесии замкнутой консервативной системы все обобщенные импульсы не меняются с течением времени, если = 0.

 Некоторые важные положения

 Кинетическая энергия абсолютно твердого тела, вращающегося вокруг некоторой оси, может быть вычислена по формуле:

T_вр = I ² / 2 , (9.8)

где  – угловая скорость вращения, а I =–момент инерции относительно этой оси. Величина _i – расстояние от частицы массой m_i до оси вращения.

Для сплошного цилиндра относительно его геометрической оси

I = m R² / 2 , (9.9)

где m – масса, а R – радиус цилиндра.

Для тонкостенной трубы радиуса R относительно оси трубы

I = m R². (9.10)

Для стержня, вращающегося около центра масс,

I_C = m l² / 12. (9.11)

Для стержня, вращающегося около его конца,

I = m l ² / 3. (9.12)

В двух последних формулах m – масса стержня, l – его длина.

 Кинетическая энергия абсолютно твердого тела, движущегося относительно системы центра масс, может быть найдена так:

T = / 2 . (9.13)

Входящую в выражение (9.13) совокупность чисел I_ называют тензором инерции, w_ – проекция угловой скорости на ось  (,  := x, y, z). Суммирование предполагается по обоим дважды повторяющимся индексам.

Для главных осей инерции

T = / 2 . (9.14)

Величины I_ называют главными моментами инерции.

 Момент инерции I тела массой m относительно произвольной оси можно выразить через момент инерции I₀ относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс и расположенной на расстоянии d от

первой, по теореме Гюйгенса – Штейнера:

I = I₀ + m d² . (9.15)

? Задания и контрольные вопросы

1. В каких случаях целесообразнее пользоваться уравнениями Лагранжа, а не ньютоновскими уравнениями или уравнениями Даламбера – Лагранжа?

2. Составьте уравнения Лагранжа для материальной точки, движущейся в поле с потенциальной функцией U(, t).

3*. Составьте уравнение Лагранжа для твердого тела, вращающегося под действием углового момента M_z.

4*. Докажите теорему Кёнига.

5. Расскажите о нахождении равновесного положения консервативной системы.

6. Что такое обобщенный импульс, и какое отношение он имеет к равновесию?

7. Расскажите о видах равновесия консервативной системы.