§7. Уравнения движения в обобщенных координатах

 Литература:[1] (§§ 19.3, 19.4), [3] (§ 28).

 Разъяснения и дополнения

 Обобщенные координаты q₁, q₂, ..., q_S задают конфигурацию системы. Они определяют значения функций

_i =_i(q₁, q₂, ..., q_S, t), (7.1)

которые удовлетворяют уравнениям связи (5.1).

 Для голономных систем обобщенные координаты независимы. Их произвольный набор q_j = {q₁, q₂, ..., q_S} однозначно определяет левые части f уравнений связи, которые должны быть равны нулю (5.2). Если же система не голономна, то произвольный набор q_j определяет лишь _i(q₁, t), в то время как f_ зависит еще и от_i(q_j, _j, t) (5.1), так что произвольный набор q_j не обеспечивает выполнение уравнений связи – обобщенные координаты не являются независимыми.

 Некоторые важные положения

Обобщенная сила Q_j определяется соотношением:

Q_j = . (7.2)

На практике для нахождения обобщенных сил удобнее использовать выражение

A = = . (7.3)

 Обобщенной силой, соответствующей декартовой координате, является проекция силы на одноименную координатную ось: Q_x = F_x.

Обобщенной силой, соответствующей углу поворота , является момент силы относительно оси вращения z (рис. 9): Q_ = M_z, где M_z – проекция на ось z момента силы = [ ]. Здесь – радиус-вектор точки приложения силы , отсчитываемый от точки О на оси z (рис. 9). M_z =  F_t, где _t – перпендикулярная к оси z составляющая силы, а – плечо этой составляющей, то есть расстояние от оси z до прямой, на которой лежит _t.

 Уравнения движения в обобщенных координатах имеют вид:

– = Q_j , j = 1, 2, …, s. (7.4)

T = – кинетическая энергия системы. (7.5)

При выводе (7.4) используются соотношения:

= и = . (7.6)

? Задания и контрольные вопросы

1. Что такое обобщенные координаты? Приведите примеры.

2. Для каких систем и почему обобщенные координаты оказываются независимыми?

3. Расскажите об обобщенных силах.

4*. Получите соотношение (7.2).

5*. Докажите первое из соотношений (7.6).

6*. Докажите второе из соотношений (7.6).

7*. Выведите уравнения (7.4).

8. Что такое кинетическая энергия системы?

§8. Уравнения Лагранжа

 Литература:[1] (§ 21.1), [3] (§§ 6.1, 6.2).

 Разъяснения и дополнения

 Уравнения движения в обобщенных координатах (7.4) еще более упрощаются, если в системе есть так называемые потенциальные силы.

 Потенциальные силы _i можно выразить через функцию координат и времени (потенциальную функцию) U = U(₁, ₂, ..., _N, t):

_i = –_iU = –. (8.1)

 Если = 0, то потенциальные силы называют стационарными. Стационарные потенциальные силы именуют также консервативными, а потенциальную функцию U для них – полной потенциальной энергией.

 Иногда различают силы внешние и внутренние. Соответственно и полную потенциальную энергию представляют в виде суммы:

U = U^(е) + U^(у). (8.2)

Здесь U^(е) и U^(у) – внешняя и внутренняя потенциальные энергии.

Выбором достаточно широкой системы рассматриваемых тел всегда

можно обеспечить равенство U = U^(у). По этой причине в школьной физике под потенциальной энергией чаще всего подразумевается только внутренняя потенциальная энергия. При таком определении бессмысленно говорить о потенциальной энергии частицы или абсолютно твердого тела. Потенциальная энергия частицы в поле тяжести или в электрическом поле – иное понятие, тождественное внешней потенциальной энергии.

 Для вывода уравнений Лагранжа правую часть уравнений (7.4) целесообразно представить в виде:

Q_j = + Q_j’= – + Q_j’, (8.3)

где _i – потенциальные силы, а Q_j’ – обобщенные силы, не учтенные потенциальной функцией U.

 Некоторые важные положения

 Работа А консервативных сил при переходе системы из состояния 1 в состояние 2 равна разности потенциальных энергий в этих состояниях:

A = U₁ – U₂. (8.4)

Из (8.4) следует, что потенциальная энергия (внутренняя) равна работе консервативных внутренних сил при переходе системы из данного состояния в нулевое.

Нулевое состояние выбирается произвольно.

 Функция Лагранжа (лагранжиан) равна разности кинетической энергии и потенциальной функции, причем эта разность должна быть выражена через обобщенные координаты и обобщенные скорости:

L = T – U = L(q _j, _j, t) . (8.5)

 Уравнения Лагранжа (уравнения Лагранжа второго рода) в общем случае, то есть когда в системе могут быть и непотенциальные силы, записываются так:

– = Q_j’ , j = 1, 2, …, s. (8.6)

Q_j’ – обобщенные силы, не учтенные функцией Лагранжа.

? Задания и контрольные вопросы

1. Расскажите о потенциальных силах и потенциальной функции.

2. Какими свойствами обладают консервативные силы?

3*. Почему поле консервативных сил называют безвихревым?

4. Что такое потенциальная энергия системы? Какими свойствами она обладает?

5*. Дайте обоснование равенствам (8.3).

7. Чем отличаются уравнения Лагранжа от ньютоновских уравнений (4.2) и что у них общего?

8. Что такое функция Лагранжа?