VII. Движение в неинерциальной системе отсчета §24. Кинематика частицы в произвольно движущейся системе отсчета
Литература: [3] (§ 5).
Разъяснения и дополнения
На
рисунке 24 показаны: радиус-вектор 
частицы А относительно системы отсчета
K; радиус-вектор
той же частицы относительно системы
K’,
движущейся произвольным образом
относительно K; величина
0,
определяющая положение начала О’
системы K’;
1,
2,
3
– единичные орты и x1,
x2,
x3
– координатные оси системы отсчета
K’.
В
этих обозначениях имеем:
=
0
+
;
(24.1)
=
x
;
= 1, 2, 3. (24.2)
Относительная скорость
ОТН
=
.
(24.3)
Относительное ускорение
ОТН
=
.
(24.4)
По
аналогии с формулой Эйлера для
вращательного движения твердого тела
(
= [
])
можно записать:
= [
]
, (24.5)
где
–
угловая скорость вращения системы K’
относительно K.
Некоторые важные положения
Абсолютная
скорость,
то есть скорость 
АБC
=
,
связана с относительной скоростью
ОТН
законом
сложения скоростей:
АБС
= 
ОТН
+ 
ПЕР
, (24.6)
где
переносная
скорость
ПЕР
вычисляется так:
ПЕР
=
+ [
]
. (24.7)
Абсолютное
ускорение
,
АБC
=
,
находится потеореме
Кориолиса:
АБC
=
ОТН
+
ПЕР
+
КОР.
(24.8)
Здесь
ПЕР
=
+ [
]
+ [
[
]] (24.9)
– переносное ускорение, а
КОР
= 2 [
ОТН] (24.10)
– кориолисово ускорение.
? Задания и контрольные вопросы
1. Приведите примеры ситуаций, в которых целесообразно анализировать движение относительно произвольно движущейся системы отсчета.
2.
Выведите закон сложения скоростей
(24.6). При дифференцировании (24.2) учтите,
что орты
зависят от времени (поворачиваются).
3. Сформулируйте закон сложения скоростей и объясните смысл входящих в него величин.
4*. Докажите теорему Кориолиса.
5. Сформулируйте теорему Кориолиса и объясните смысл входящих в нее величин.
6. Объясните смысл каждого из входящих в выражение (24.9) слагаемых.
7. Приведите примеры движений с кориолисовым ускорением.
§25. Динамика частицы в неинерциальной системе отсчета. Теорема Лармора
Литература: [2] (§§ 63, 64, 71).
Некоторые важные положения
Ускорение
частицы массой m в произвольным образом
движущейся системе отсчета определяется
уравнением:
m
= 
+
ПЕР
+
КОР,
(25.1)
где
– сумма сил, приложенных к частице со
стороны других тел. Эти силы называют
силами
Ньютона, а
величины
ПЕР
= – m
ПЕР
и
КОР
= – m
КОР
= 2 m [
ОТН
]
– (25.2)
переносной
и кориолисовой
силами
инерции.
ПЕР
– переносное ускорение (см. (24.9)), 
ОТН
– относительная скорость частицы,
– угловая скорость системы отсчета.
Силы инерции называют эйлеровыми силами. Они обусловлены не действием каких-то тел, а неинерциальностью системы отсчета.
Согласно принципу эквивалентности однородное поле силы тяжести эквивалентно полю сил инерции, которые обусловлены тем, что система отсчета поступательно движется с постоянным ускорением.
Теорема
Лармора
утверждает следующее: частица, обладающая
зарядом q, массой m и совершающая финитное
движение в центральном поле, при
появлении достаточно малого магнитного
поля, индукция которого
,
приобретает дополнительное вращение
с частотой
Л
= –
.
(25.3)
Это
дополнительное вращение называют
ларморовой
прецессией,
а величину
Л
– ларморовой
частотой.
Разъяснения и дополнения
Говоря о силах Эйлера или Ньютона, в термин «сила» вкладывают более широкий смысл по сравнению с аксиоматическим определением, содержащимся в законах Ньютона.
В
более общем смысле слова
сила – векторная величина, определяющая
ускорение (точнее говоря, изменение
импульса) частицы в соответствии с
уравнением движения. При таком подходе
и 
,
и
с полным правом можно называть силами.
Оставаясь же в рамках школьного
определения, силы Эйлера силами не
являются.
Фигурирующие в принципе Даламбера силы называют силами Даламбера. Если перейти в систему отсчета, покоящуюся относительно рассматриваемой частицы, то силы Даламбера становятся силами Эйлера. Поэтому обычно рассматривают всего два вида сил – силы Ньютона и силы инерции (эйлеровы силы).
Теорема Лармора используется, например, при объяснении диамагнетизма. Ее доказательство может служить хорошей иллюстрацией применения уравнения (25.1).
На
рисунке 25 показана частица, о которой
говорится в теореме Лармора. Эта частица
(например, электрон в атоме) движется
со скоростью 
в лабораторной системе отсчета по
замкнутой траектории вокруг центра О.
– перпендикулярный к плоскости орбиты
момент импульса. Уравнение движения в
лабораторной системе отсчета имеет
простой вид:
m
= 
,
(25.4)
где
– центральная сила.
Уравнение
усложняется, если имеется постоянное
магнитное поле с индукцией
:
к силе 
добавляется сила Лоренца q [
].
Однако можно снова получить уравнение
простого вида (25.4), если перейти в систему
отсчета, вращающуюся с определенной
угловой скоростью
.
Запишем уравнение движения во вращающейся системе отсчета:
m
ОТН
= 
+ q [
]
+ 2 m [
]
– m [
[
]].
(25.5)
Здесь
ОТН
– ускорение частицы относительно этой
системы,
– радиус-вектор частицы. Второе слагаемое
в правой части равенства – сила Лоренца,
третье – сила Кориолиса, четвертое –
центробежная сила инерции.
Пусть
[
]
<< 
.
(25.6)
Тогда можно пренебречь центробежной силой. Если к тому же
q
[
]
+ 2 m [
]
= 0 , (25.7)
то
уравнение (25.5) примет вид (25.4) с
=
ОТН.
Это означает, что в рассматриваемой
системе отсчета частица движется так,
как она двигалась бы в отсутствие
магнитного поля. Влияние магнитного
поля сводится к дополнительному вращению
вместе с рассматриваемой системой
отсчета.
На
рисунке 25 показана траектория конца
вектора
,
неизменного во вращающейся системе
отсчета (центральное поле). Вместе с
системой отсчета вращается и
перпендикулярная к вектору
орбита частицы.
Соотношение
(25.7) эквивалентно (25.3) при
=
Л.
Рассмотренное вращение, обусловленное
магнитным полем, и есть ларморова
прецессия. Она аналогична прецессии
волчка в поле тяжести. Теорема Лармора
доказана.
Неравенство
(25.6) вскрывает смысл содержащегося в
формулировке теоремы Лармора ограничения
величины магнитного поля. В самом деле,
из (25.3) следует, что
=
Л
.
Поэтому неравенство (25.6) будет выполняться,
если индукция магнитного поля B
достаточно мала.
Ларморова
прецессия объясняет парадоксальное,
на первый взгляд, явление диамагнетизма:
индуцированный полем магнитный момент
направлен навстречу индукции
.
Магнитный
момент кругового тока, обусловленного
вращением частицы с зарядом q,
пропорционален величине заряда и
угловой скорости. Поэтому
q
Л
= –
.
Следовательно, магнитный момент
направлен навстречу вектору
.
Так что диамагнетизм возникает вследствие
ларморовой прецессии заряженных частиц
в магнитном поле.
? Задания и контрольные вопросы
1. Дайте обоснование уравнению (25.1).
2. Расскажите о силах инерции.
3. Расскажите о принципе эквивалентности.
4*. Получите принцип эквивалентности из уравнения (25.1).
5*. Можно ли гравитационное поле скомпенсировать полем сил инерции?
6. Расскажите о теореме Лармора.
7*. Докажите теорему Лармора.
8. Объясните явление диамагнетизма.