§23. Принцип наименьшего действия. Уравнения Гамильтона – Якоби

 Литература: [1] (§ 24.1), [3] (§§ 32, 36, 37), [7] (§§ 7, 32).

 Разъяснения и дополнения

 Уравнения (22.7) совпадают с уравнениями Лагранжа (8.6), если q_j – обобщенные координаты, L – функция Лагранжа и Q_j’ = 0. Уравнениям Лагранжа удовлетворяют истинные уравнения движения q_j = q_j(t) системы. Уравнениям Эйлера – экстремали функционала (22.4) с заменой q на q_j. Эти обстоятельства и позволяют сформулировать принцип наименьшего действия.

 Принцип наименьшего действия Остроградского – Гамильтона заключается в том, что среди всех возможных уравнений движения из одного положения в другое за данное время действительному движению соответствуют уравнения, которые обеспечивают минимальное значение функционала действия.

 Принцип наименьшего действия допускает наибольшее среди других принципов механики обобщение. Он широко используется в различных разделах теоретической физики.

 Функционал действия определяется формулой

S [q_j(t)] = , (23.1)

где L [q_j, _j, t] – функция Лагранжа.

 Помимо функционала действия в физике рассматривают и функцию действия:

S [q_j, t] = . (23.2)

Это выражение отличается от (23.1) тем, что интегрирование производится по уравнениям истинного движения между фиксированной точкой q_j(t₁) конфигурационного пространства и произвольно задаваемой точкой q_j(t).

Для наглядного сопоставления функции действия и функционала действия можно воспользоваться рисунками 22 и 23. При нахождении функционала интеграл вычисляется по любым функциям, отображаемым на рисунке 22 кривыми, проходящими через точки 1 и 2. При нахождении же функции S = S (q, t) интеграл вычисляется по кривым, соответствующимистинным движениям. Именно такие кривые подразумеваются на рисунке 23. Кривые 1–2 и 1–3 дают значения S(q, t), различающиеся переменной q, а кривые 1–3 и 1–4 дают значения S(q, t), различающееся переменной t.

Из (23.2) видно, что функция Лагранжа представляет собой полную производную по времени от функции действия:

L = . (23.3)

 Связь функции действия с обобщенными импульсами следует из (22.5) (точнее говоря, из обобщения этого соотношения для многих функций q_j(t)):S = , или

= p_j = . (23.4)

 В квантовой физике выясняется, что функция действия не может изменяться на величины, меньшие постоянной Планка h. Поэтому универсальную постоянную величину h и называют квантом действия. Классическая механика рассматривает явления, для которых изменение функции действия S >> h.

 Некоторые важные положения

 Из принципа наименьшего действия могут быть получены все остальные формы динамических уравнений, например, уравнения Гамильтона.

 В качестве основного уравнения динамики можно использовать уравнение Гамильтона - Якоби:

= – H (q_j, , t ) . (23.5)

Оно представляет собой дифференциальное уравнение в частных производных для функции S = S (q_j, t). Найдя общее решение уравнения (23.5), получают из него и кинематические уравнения движения q_j = q_j(t).

 Для частицы массой m, движущейся в потенциальном поле U(), уравнение Гамильтона – Якоби выглядит так:

+(S)² + U. (23.6)

К такому же виду сводится квантово-механическое уравнение Шрединге-ра, если постоянную Планка можно считать достаточно малой (h << S). Это означает, что классическая механика является предельным частным случаем квантовой механики.

? Задания и контрольные вопросы

1. Расскажите о принципе наименьшего действия и связи его с уравнениями Эйлера.

2. Расскажите о функции действия и функционале действия.

3. Объясните происхождение формулы (23.3)

4*. Выведите формулу (23.4).

5*. Выведите уравнение Гамильтона – Якоби (23.5).

6*. Выведите соотношение (23.6).

7. Расскажите о связи квантовой механики и классической физики.