§16. Задача Кеплера
Литература: [8] (§ 15), [3] (§ 19].
Некоторые важные положения
Задача Кеплера представляет собой задачу о движении -точки в центральном поле с потенциальной функцией вида
U
(r) = –
. (16.1)
П
ри
гравитационном притяжении частиц,
массы которых m1
и m2,
величина
= G m1
m2
> 0. Если речь идет о кулоновском
взаимодействии зарядов q1
и q2,
то
=
.
В случаепритяжения
(q1
и q2
имеют разные знаки)
> 0. В случае
отталкивания
< 0.
Конические сечения в полярных координатах r и описываются уравнением:
r
=
. (16.2)
Величина p – фокальный параметр, – эксцентриситет.
На рисунке 17 изображены для > 0 конические сечения с одинаковыми p и различными .
При = 0 коническое сечение представляет собой окружность радиусом p.
При 0 < < 1 оно имеет вид эллипса с полуосями
a
=
(16.3)
и
b =
.
(16.4)
Перицентр эллипса удален от фокуса О на расстояние
rП
=
. (16.5)
Апоцентр – на расстояние
rА
=
. (16.6)
Ф
окус
О отстоит от центра эллипса на расстоянии
f
=
a =
.
Из (16.3) и (16.4) следует, что эксцентриситет эллипса
=
.
Коническое сечение с эксцентриситетом = 1 представляет собой параболу.
При > 1 получается ветвь гиперболы, асимптота которой соответствует предельному углу П, для которого
cos(П) = – 1 / . (16.7)
Для выяснения того, при каких физических условиях реализуются те или иные виды траекторий, удобно использовать график зависимости эффективной потенциальной энергии от расстояния r до центра (рис. 18).
Проведя прямые, соответствующие определенным значениям E = const, нетрудно сообразить, что траектории должны быть такими коническими сечениями, как указано на рисунке 18. Утверждение, что траектория частицы в задаче Кеплера представляет собой коническое сечение, называют первым законом Кеплера.
Некоторые важные положения
Фокальный параметр p и эксцентриситет орбиты определяются осевым моментом импульса LZ и энергией частицы E, которые являются интегралами движения:
p
=
, (16.8)
=
.
(16.9)
В случае эллиптической траектории большая полуось a зависит от энергии частицы E:
a
=
,
(16.10)
а меньшая полуось b – еще и от осевого момента импульса LZ:
b
=
.
(16.11)
Период обращения T по эллиптической орбите может быть вычислен по формуле
T
= 2
. (16.12)
Отсюда следует третий закон Кеплера – квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца пропорциональны кубам больших полуосей орбит и не зависят от масс планет:
T2 a3. (16.13)
Третий закон Кеплера получается из (16.12) приближенно, если пренебречь массой планеты по сравнению с массой Солнца. Более точно период обращения планеты зависит не только от большей полуоси a2 орбиты, но и от массы m планеты:
T
= 2
.
(16.14)
Здесь M – масса Солнца, G – гравитационная постоянная.
Круговая скорость vК может быть вычислена по формуле
vК
=
,
(16.15)
где r – радиус орбиты.
Параболическая
скорость
vП
в
раз больше:
vП
= vК
=
.
(16.16)
Формулы (16.15) и (16.16) позволяют найти первую v1 и вторую v2 космические скорости:
v1
=
=
;
v2
= v1
.
(16.17)
В выражениях (16.17) M – масса Земли, R – ее радиус, g – ускорение свободного падения.
? Задания и контрольные вопросы
1. Какие системы описывает задача Кеплера? Чем обусловлено ее название?
2*. Выведите уравнение (16.2).
3. Объясните происхождение формул (16.5) и (16.6).
4*. Расскажите об асимптотах и предельном угле.
5*. Нарисуйте траекторию движения -точки вблизи отталкивающего цента.
6*. Выведите формулу (16.3).
7*. Выведите формулу (16.10).
8*. Выведите формулу (16.11).
9*. Найдите энергию системы «Земля – искусственный спутник, вращающийся по круговой орбите радиуса r», опираясь только на материал школьного курса физики. Проверьте ответ посредством формулы (16.10).
10*. Выведите формулу (16.12).
11. Расскажите о третьем законе Кеплера.
12. Для каких систем целесообразно применять формулу (16.14)?
13. Расскажите о круговой и первой космической скоростях.
14*. Выведите формулу (16.15).
15. Выведите формулу для первой космической скорости, опираясь только на материал школьного курса физики.
16. Расскажите о параболической и второй космической скоростях.
17*.Выведите формулу (16.16).