Решение
По правилу произведения трехзначных чисел можно составить 5 · 4 · 3 = 60, а четырехзначных 5 · 4 · 3 · 2 = 120, столько же пятизначных чисел (5 · 4 · 3 · 2 · 1). По правилу суммы, всего можно составить 60 + 120 + 120 = 300 чисел, состоящих не менее чем из трех попарно различных цифр.
Пример 1.22. Дано шесть карточек с буквами Н, М, И, Я, Л, О. Какова вероятность того, что получится слово «МОЛНИЯ», если наугад одна за другой выбираются шесть карточек и располагаются в ряд в порядке появления?
Решение
Шестибуквенные слова отличаются друг от друга лишь порядком расположения букв («НОЛМИЯ», «ЯНОЛИМ», «ОЛНИЯМ» и т. д.). Их число равно числу перестановок из 6 букв, т. е. n = P6. Событие A, состоящее в том, что получится слово «МОЛНИЯ», очевидно, появляется лишь в одном элементарном исходе, т. е. m = 1. Следовательно,
.
Ответ:
0,0014.
Тест 1.9. Буквы Т, Е, И, Я, Р, О написаны на отдельных карточках. Ребенок берет карточки в случайном порядке и прикладывает одну к другой все 6 карточек. Вероятность того, что получится слово «ТЕОРИЯ», равна:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
Пример 1.23. Из 30 студентов 10 имеют спортивные разряды. Какова вероятность того, что выбранные наудачу 3 студента имеют разряд?
Решение
Пусть событие A
– «3 выбранных наудачу студента имеют
разряд». Общее число всех возможных
исходов из 30 студентов по 3 равно
,
так как комбинации из 30 студентов по 3
представляют собой сочетания, поскольку
отличаются хотя бы одним студентом.
Точно также число исходов, благоприятствующих
событиюA,
равно
.
Итак,
.
Ответ:
0,03.
Тест 1.10. В ящике 30 деталей, среди которых 20 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными, равна:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
Пример 1.24. Подбрасывают два игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков не превосходит 7?
Решение
Каждый из кубиков может упасть шестью различными способами. Тогда два кубика по правилу произведения могут упасть 6 · 6 = 36 различными способами. Каждому такому способу соответствует событие, которое является исходом испытания «подбрасывание двух кубиков». В силу симметричности кубиков все эти события равновозможны и образуют полную группу несовместных событий. Поэтому число всех исходов подбрасывания двух кубиков n = 6 · 6 = 36. Обозначим через B событие «сумма выпавших очков не превосходит 7». Событию B благоприятствуют 21 элементарный исход: (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (3,1), (4,1), (5,1), (6,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (3,2), (4,2), (5,2), (3,3), (3,4), (4,3). Следовательно, m = 21. Тогда
.
Ответ:
0,58.
Тест 1.11. Подбрасывают три монеты. Вероятность того, что при этом (безразлично в каком порядке) выпадет два раза «герб» и один раз «надпись», равна:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
1.2.2. Геометрическое определение вероятности
Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности – вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.).
Пусть, например, плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G наудачу бросается точка. Это означает, что все точки области G «равноправны» в отношении попадания туда брошенной случайной точки. Полагая, что вероятность события A – попадания брошенной точки на фигуру g – пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно G, ни от формы g (рис. 1), найдем:
,
где Sg и SG – соответственно площади областей g и G.
Рис. 1
Фигуру g называют благоприятствующей событию A.
Область, на которую распространяется понятие геометрической вероятности, может быть одномерной (прямая, отрезок) и трехмерной (некоторое тело в пространстве). Обозначая меру (длину, площадь, объем) области через mes, приходим к следующему определению.
Геометрической вероятностью события A называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события A, к мере всей области:
.
Пример 1.25. В круг вписан квадрат. Какова вероятность того, что точка, наудачу поставленная в круге, окажется внутри квадрата?