Решение

Обозначим через событие «появление белого шара». В этом испытании элементарным исходом является извлечение из ящика любого одного шара. Число всех таких исходов равно числу шаров в ящике, т. е.n = 20. Число исходов, благоприятствующих появлению белого шара (событию ), равно числу белых шаров в урне, т. е.m = 4. Поэтому

.

Ответ: 0,2.

Согласно классическому определению подсчет вероятности события сводится к подсчету числа благоприятствующих ему исходов. Делают это обычно комбинаторными методами.

Комбинаторика  раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных определенным условиям, можно составить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечного множества.

Формулы комбинаторики используют при непосредственном вычислении вероятностей.

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же различных элементов и отличающиеся друг от друга только их порядком. Число всевозможных перестановок из n элементов обозначается через P_n и вычисляется по формуле

,

где n! (читается эн-факториал) = 1 · 2 · 3 · … · n, причем 1!=1, 0!=1.

Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений определяется формулой

или

.

Сочетаниями называются комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний из n элементов вычисляется по формуле

или

.

.

Пример 1.18. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в запись числа только один раз?

Решение

Число различных комбинаций из трех цифр равно 3!. В результате число различных трехзначных чисел равно P₃ = 3!= 1 · 2 · 3 = 6.

Ответ: 6.

Пример 1.19. Правление коммерческого банка выбирает из восьми кандидатов три человека на различные должности (все 8 кандидатов имеют равные шансы). Сколькими способами это можно сделать?

Решение

Так как группы по 3 человека могут отличаться и составом претендентов, и порядком заполнения ими трех вакансий, то для ответа необходимо рассчитать число размещений из 8 элементов по 3, т. е.

или

.

(Так как 8! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8; 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5, то 8! можем представить через 5!, т. е. 8! = 5! · 6 · 7 · 8).

Ответ: 336.

Пример 1.20. В шахматном турнире участвуют 16 человек. Сколько партий должно быть сыграно в турнире, если между любыми двумя участниками должна быть сыграна одна партия?

Решение

Каждая партия играется двумя участниками из 16 и отличается от других только составом пар участников, т. е. представляет собой сочетание из 16 элементов по 2. Их число находим по формуле

,

или

.

Ответ: 120.

Тест 1.8. Порядок выступления 7 участников конкурса определяется жребием. Число различных вариантов жеребьевки при этом равно:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Многие комбинаторные задачи могут быть решены с помощью следующих двух важных правил, называемых соответственно правилами суммы и произведения.

Правило суммы. Если элемент А₁ может быть выбран п₁ способами, а элемент А₂ может быть выбран п₂ способами, то выбор одного из элементов: или А₁, или А₂ может быть осуществлен п₁ + п₂ способами.

Правило произведения. Если элемент А₁ может быть выбран п₁ способами, после каждого такого выбора элемент А₂ может быть выбран п₂ способами, то выбор всех элементов А₁, А₂ в указанном порядке может быть осуществлен п₁ · п₂ способами.

Пример 1.21. Сколько чисел, содержащих не менее трех попарно различных цифр, можно составить из цифр 2, 4, 6, 8, 9?