4.5. Нормальное распределение

Нормальнымназывают распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, если дифференциальная функция имеет вид

,

где а и – параметры,

а – математическое ожидание;

 – среднее квадратическое отклонение.

Функция распределения F(x) случайной величины X, распределенной по нормальному закону, имеет вид

.

Вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (;), вычисляется по формуле

Р(<X<) = ФФ,

где Ф (X) =– функция Лапласса.

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа:

P(|X–a| <) = 2Ф.

Тест 4.19. Случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами a = 2, . Тогдаравна:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) Ф(1).

В частности, при a = 0 справедливо равенство

.

«Правило трех сигм».Вероятность того, что абсолютная величина отклонения нормально распределенной случайной величины будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973:

2Ф(3)=0,9973.

Свойства функции :

1. Область определения – вся числовая ось.

2.

3. , следовательно, осьOXявляется горизонтальной асимптотой графика функции.

4. Функция имеет в точкеx=aмаксимум, равный.

5. График функциисимметричен относительно прямойx = a.

6. График функциив точках имеет перегиб.

На основании перечисленных свойств график функции (нормальная кривая) имеет вид, представленный на рис. 9.

Рис. 9

Тест 4.20.На графике изображена кривая нормального распределения вероятностей (рис. 10).

Рис. 10

Математическое ожидание равно:

1) а = 1;

2) а = 2;

3) а = 3;

4) а = 4;

5) а = 0.

Параметр aхарактеризует положение нормальной кривой, а параметр– форму.

На рис. 11 приведено положение нормальной кривой в зависимости от параметра а(еслиа₁<а₂).

Рис. 11

На рис. 12 приведена форма нормальной кривой в зависимости от параметра (если).

Рис. 12

Тест 4.21. На рисунке рис. 13 изображены три нормальные кривые.

Рис. 13

Меньшему значению а соответствует кривая:

1) 1;

2) 2;

3) 3;

4) положение нормальной кривой не зависит от параметра а;

5) другой ответ.

Тест 4.22. На рис. 14 изображены три нормальные кривые.

Рис. 14

Меньшему значению параметра  соответствует нормальная кривая:

1) 1;

2) 2;

3) 3;

4) вид нормальной кривой не зависит от ;

5) другой ответ.

Пример 4.5. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величиныХсоответственно равны 20 и 5.какова вероятность того, что в результате испытания случайная величинахпримет значение, заключенное в интервале (15;25).

Решение

Воспользуемся формулой

.

Подставив ;a = 20, получим:

По таблице находим:.

Таким образом, .

_{Ответ: 0,6826.}

Пример 4.6. Случайная величинаХраспределена нормально с математическим ожиданиема= 15. Вероятность попаданияхв интервал (15;20) равна 0,2. Чему равна вероятность попаданияхв интервал (10;15)?

Решение

Так как график нормальной кривой симметричен относительно прямой x = a = 15,то площади, ограниченные сверху нормальной кривой и снизу интервалами (10;15) и (15;20) равны между собой (рис. 15).

Рис. 15

Поскольку эти площади численно равны вероятностям попадания X в соответствующий интервал, то Р(10 < X < 15) = p(15 < X < 20) = 0,2.

_{Ответ: 0,2.}

Тест 4.23.Нормально распределенная случайная величинахзадана дифференциальной функцией

,

Математическое ожидание равно:

1) –1;

2) 0;

3) 1;

4) 5;

5) .

Тест 4.24.Нормально распределенная случайная величинахзадана дифференциальной функцией

,

Среднее квадратическое отклонение равно:

1) –1;

2) 0;

3) 1;

4) 5;

5) .

Тест 4.25.Случайная величинахраспределена нормально с математическим ожиданиема= 8. Вероятность попаданияхв интервал (0;4) равна 0,2.вероятность попадания хв интервал (12;16) равна:

1) 0,1;

2) 0;

3)1;

4) 0,4;

5) 0,2.

Тест 4.26.Вероятность попадания в интервал (15;25) нормально распределенной случайной величиныхс математическим ожиданиема= 20 и средним квадратическим отклонениемравна:

1) ;

2) ;

3) .