Произведением двух событий а и в называют событие ав, состоящее в совместном появлении этих событий.

Пример 1.14. В ящике находятся белые, синие и черные шары. Извлекается один шар. Возможны следующие события: A – «извлечен белый шар», B – «извлечен синий шар», C – «извлечен черный шар». Событие А + В означает, что произошло событие «извлечен не черный шар», а событие В + С  «извлечен не белый шар».

Пример 1.15. Бросается игральный кубик. Рассмотрим следующие события: A – «число выпавших очков меньше 5», B – «число выпавших очков больше 2», C – «число выпавших очков четное». Тогда событие АВС заключается в том, что выпало 3 очка.

Тест 1.5. Из корзины, содержащей красные, желтые и белые розы, выбирается один цветок. Пусть события: A – «выбрана красная роза», B – «выбрана желтая роза». Тогда событие C – «выбрана белая роза» равно:

1) ;

2) А + В;

3) ;

4) ;

5) AB.

Тест 1.6. Пусть A, B, C – три произвольных события. Событие «произошло, по крайней мере, одно из событий A, B, C» равно:

1) А + В + С;

2) ;

3) АВС;

4) АВ + АС + BC;

5) .

1.2. Понятие вероятности

В повседневной жизни в разговоре часто используется слово «вероятный». Например, «к вечеру, вероятно, пойдет дождь», «вероятнее всего он опоздает». При употреблении этого слова интуитивно оценивается возможность наступления того или иного события. Можно сказать, что одно событие наступает чаще, чем другое. В этом случае говорят, что оно более возможно, т. е. его наступление более вероятно. Естественно, при такой оценке человеку помогает здравый смысл и жизненный опыт. Например, из опыта известно, что при выполнении многих видов работ вредна торопливость. В спешке можно совершить такое действие, которое сведет на нет всю предыдущую работу. Иначе говоря, при спешке более вероятен брак в работе, т. е. вероятность (возможность) выхода брака выше.

Однако в жизни чаще встречаются события, сравнить или оценить возможности появления которых, основываясь на чисто интуитивных соображениях, трудно. Например, это можно сказать про события «герб появился два раза при пятикратном бросании монеты», «во время решения задачи отказала ЭВМ» и т. д. Как видно из приведенных примеров, каждое событие обладает определенной степенью возможности наступления, т. е. определенной оценкой. Такую оценку события называют вероятность события.

Вероятность события  это числовая характеристика возможности наступления случайного события в результате испытаний при заданной совокупности условий.

По определению, событию можно поставить в соответствие определенное число  его вероятность. Однако приведенное определение не дает формулу для нахождения этого числа.

Существует несколько подходов к определению вероятности. Рассмотрим основные из них.

1.2.1. Классическое определение вероятности

Классическое определение вероятности связано с определением благоприятствующего исхода.

Элементарные исходы, при которых данное событие наступает, называются благоприятствующими этому событию.

Пример 1.16. Бросается игральный кубик. Элементарные исходы «появление двух очков», «появление четырех очков», «появление шести очков» являются благоприятствующими событию «выпало четное число очков».

Вероятностью события А называется отношение числа m благоприятствующих событию А элементарных исходов к общему числу п равновозможных, единственно возможных и несовместных элементарных исходов:

.

Из определения вероятности события А следует, что , поэтому всегда выполняются неравенства, т. е.вероятность любого события есть неотрицательное число, не превышающее единицы.

Вероятность невозможного события равна нулю, т. е. P(U) = 0.

Вероятность достоверного события равна единице, т. е. P(E) = 1.

Равновозможные элементарные события являются равновероятными, т. е. обладают одной и той же вероятностью.

Тест 1.7. Вероятность события принимает любое значение из промежутка:

1) [0; 1];

2) [–1; 1];

3) (–; 1];

4) [0; 2];

5) (0; +).

Пример 1.17. Из ящика, в котором находится 4 белых, 6 желтых и 10 красных шаров, наугад вынимают один шар. Какова вероятность появления белого шара?