4.2. Закон Пуассона

Случайная величина x, которая может принять возможное значениеX=k(k = 0;1; …) с вероятностью, определяемой по формуле Пуассона

,

называется распределенной по закону Пуассона.

Постоянная называется параметром.

Теорема. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X, распределенной по закону Пуассона равны параметру.

Тест 4.5.Математическое ожидание случайной величиныX, распределенной по закону Пуассона:

равно:

1) m;

2);

3) ;

4) ;

5) .

Тест 4.6.Дисперсия случайной величиныX, распределенной по закону Пуассона:

равна:

1) m;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Тест 4.7. случайная величина X называется распределенной по закону Пуассона, если она принимает возможные значения с вероятностью, определяемой по формуле:

1) ;

2) ;

3);

4) ;

5) .

4.3. Равномерное распределение

Непрерывная случайная величина называется равномерно распределенной на интервале (a;b), если плотность ее распределения имеет следующий вид:

Функция распределения равномерно распределенной случайной величиныимеет следующий вид:

Теорема.Для равномерно распределенной случайной величины математическое ожидание вычисляется по формуле, дисперсия вычисляется по формуле, среднее квадратическое отклонение вычисляется по формуле.

Пример 4.1. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение случайной величиныX, распределенной равномерно в интервале.

Решение

1. Математическое ожидание находим по формуле . По условиюa= 2;b= 8. Следовательно, имеем:

.

2. Дисперсию находим по формуле .

Имеем: .

3. Находим среднее квадратическое отклонение:

.

примечание. Математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение можно находить также по определению.

Тест 4.8.Среднее квадратическое отклонение случайной величиныХраспределенной равномерно на интервале (2;8), равно:

1) ;

2) 0;

3) 1;

4) ;

5) 4.

Тест 4.9.Дисперсия случайной величиныX, распределенной равномерно на интервале (2;8), равна:

1) 3;

2) 0;

3) 1;

4) ;

5) 5.

Тест 4.10.Математическое ожидание случайной величины X, распределенной равномерно на интервале (2;8), равно:

1) 2;

2) 0;

3) 1;

4);

5) 5.

Тест 4.11. Случайная величина Х называется равномерно распределенной на интервале, если ее плотность распределения имеет вид:

1) ;

2) ;

3);

4) ;

5) .

Тест 4.12. Если случайная величина подчинена закону равномерного распределения на интервале , ее плотность распределения равна:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Тест 4.13. Закон равномерного распределения задан дифференциальной функцией в интервале (a;b) и f(x) = 0 вне этого интервала. Интегральная функция F(X) на интервале (a;b) будет равна:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Тест 4.14. Если, случайная величина подчинена закону равномерного распределения на интервале , ее математическое ожидание равно:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

4.4. Показательное распределение

Если дифференциальная функция (плотность) распределения вероятностей случайной величины выражается функцией

(4.1)

где k > 0 – параметр, то говорят, что случайная величинаX имеетпоказательное распределение.

Функция распределения такой случайной величины имеет вид

(4.2)

Теорема. Числовые характеристики случайной величины, распределенной по показательному закону, определяются по формулам:

; ;.

Пример 4.2. Написать дифференциальную и интегральную функции показательно распределенной случайной величиныX, если параметрk = 6.

Решение

Подставив kв соотношения (4.1) и (4.2), получим

Пример 4.3. Непрерывная случайная величинаXраспределена по показательному закону, заданному интегральной функцией

Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина попадет в интервал (2; 5).

Решение

Воспользуемся формулами вероятности попадания в интервал (a;b) случайной величины X:

1. черезF(x):

2. черезf(x)

Найдем f(x):

f(x)=F'(x)=

_{Ответ: e} ^{– 1,2} _{– e} ^{– 3}_.

Пример 4.4. Найти математическое ожидание, дисперсию и сред-нее квадратическое отклонение показательного распределения, заданного дифференциальной функцией

Решение

Подставив k = 5 в формулы для вычисления математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения, получим:

,,.

Тест 4.15.Параметрkпоказательного распределения, заданного дифференциальной функцией:

равен:

1) 2;

2) 0;

3) 1;

4) ;

5) 4.

Тест 4.16.Дисперсия показательного распределения, заданного дифференциальной функцией:

равна:

1) ;

2) 5;

3) 1;

4) ;

5) –5.

Тест 4.17. Математическое ожидание, дисперсия непрерывной случайной величины Х, распределенной по показательному закону

равны:

1) , ;

2) ;

3)

4) 1,0;

5) .

Тест 4.18. Случайная величина X имеет показательное распределение, если ее дифференциальная функция (плотность) распределения равна:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .