7.5. Интервальные оценки неизвестных параметров

Более полный и надежный способ оценивания параметров распределений заключается в определении не единственного точечного значения, а интервала, который с заданной вероятностью содержит истинное значение оцениваемого параметра. Для заранее выбранного уровня значимости ,по выборке определяются два числаи,, между которыми с вероятностьюнаходится неизвестный параметр:.

Число называетсядоверительной вероятностью (надежностью), ,–доверительными нижней и верхней границами. Величины ,определяются по результатам выборки, следовательно, являются случайными.

Если – точечная оценка неизвестного параметра, то , где–предельная ошибка (уровень надежности) выборки, которая либо задается заранее, либо вычисляется.

На практике часто используются односторонние доверительные интервалы, которые определяются из условий илии называютсяправосторонними и левосторонними соответственно.

Длина доверительного интервала, характеризующая точность интервальной оценки, зависит от объема выборки и надежности. При увеличениидлина доверительного интервала уменьшается, а с приближением надежности к 1 – увеличивается. В качествепринимают значения 0,9; 0,95; 0,99, что соответствует 90, 95, 99%-ым доверительным интервалам соответственно.

Задача определения доверительного интервала может быть решена только тогда, когда удается найти закон распределения случайной величины, используемой в качестве оценки. В общем случае этот закон зависит от самого неизвестного параметра. Однако иногда удается перейти от оценки к таким функциям выборочных значений, закон распределения которых зависит только от объема выборкии закона распределения случайной величины и не зависит от неизве-стных параметров.

Пусть выборка произведена из генеральной совокупности значений нормально распределенной с параметрамиислучайной величины, т.е.~.

Доверительный интервал для математического ожидания при известной дисперсии с доверительной вероятностью имеет вид:

или .

Здесь – квантиль порядканормального распределения, заданного функцией распределения вероятностей

, т. е.

Выражение – точность оценки. Из соотношениянаходится минимальный объемвыборки, который обеспечивает заданную точность.

Число , как правило, неизвестно, поэтому его заменяют приближенным значением:.

Пример 7.4. Автомат наполняет пакеты с чипсами. Установлено по выборочным данным, что стандартное отклонение веса пакетов г. Среднее значение веса пакетаг (приn = 36). В каком интервале с надежностью 95% лежит истинное значение веса, считая что вес подчиняется нормальному распределению ~N (m ; 10).

Решение

Для определения 95% доверительного интервала найдем критическую точку из уравнения.

По таблицам функции Лапласа . Тогда доверительный интервал имеет вид.

Тест 7.20. Доверительный интервал для оценки математического ожидания при выборочной средней и точности оценкиимеет вид:

1) (12,5; 15,5);

2) (14,5; 17);

3) (0;14);

4) (14; 28).

Вопросы для самоконтроля

1. Какие числовые характеристики выборки относятся к показателям положения?

2. Какие числовые характеристики выборки относятся к показателям разброса?

3. Какой показатель характеризует симметрию распределения?

4. Что называется выборочным средним, выборочной модой, выборочной медианой, выборочной дисперсией?

5. Каким условиям должны удовлетворять точечные оценки?

6. Какие оценки называются интервальными?

7. Что называется доверительной вероятностью?