5.4. Волновая функция и уравнение Шредингера

Наличие волновых свойств у микрочастиц сделало невозможным трактовку их как механических частиц. Уравнения движения Ньютона, описывающие движение макрочастиц, непригодны для описания движения микрочастиц. Теория, описывающая движение микрочастиц, должна учитывать все их свойства, корпускулярные и волновые.

Де Бройль, предположивший наличие волновых свойств у частиц, , такой теории не создал. Он не нашел уравнения, которое явилось бы для микрочастиц тем, чем является уравнение Ньютона для макроскопических тел. Такое уравнение было найдено Шредингером в 1926 г. Так же как и уравнение Ньютона, уравнение Шредингера не выводится. Оно постулируется, и его правильность определяется тем, в какой мере его применение подтверждается результатами опыта. Уравнение Шредингера, определяющее поведение микрочастицы, коренным образом отличается от уравнения Ньютона. Уравнение Ньютона определяет координаты и скорости микрочастиц как функцию времени. Уравнение Шредингера определяет не непосредственно координаты и скорости частиц, а их волновую функцию как функцию координат и времени. Уравнение сходно с тем, которое описывает распространение механических волн:

. (5.12)

Константы ћ и m, входящие в уравнение Шредингера, представляют собой постоянную Планка () и массу частицы,   оператор Лапласа. Результат действия этого оператора на некоторую функцию представляет собой сумму вторых частных производных этой функции по координатам:

(5.13)

Функция будет принимать то или иное значение в зависимости от внешних условий. Внешние условия – это силы, действующие на микрочастицу, представлены потенциальной функцией u ( X, y, z, t ).

Шредингер сопоставил движению микрочастицы комплексную функцию, которую он назвал волновой функцией и обозначил греческой буквой «пси» (пси-функция).

Каковы свойства волновой функции?

1. Квадрат амплитуды волновой функции является мерой вероятности нахождения частицы в данном месте. Так как волновая функция дана в комплексном виде, то квадрат амплитудного значения волновой функции определится как произведение Ψ∙Ψ^*, где Ψ^*сопряженное значение функции. Поэтому вероятность (d) нахождения частицы в объеме dVможет быть записана так

dη = Ψ∙Ψ^*∙dV. (5.14)

2. Так как существование рассматриваемой частицы является достоверным, т.е. частица где-то в пространстве обязательно находится, то интеграл от d, взятый по всему пространству, должен быть равен единице.

. (5.15)

Интеграл берется по всему пространству. Это соотношение называется условием нормировки.

3. В силу физических свойств микрочастиц (конечного значения величины вероятности нахождения их в данном месте, определенного значения этой величины в данных условиях и др.) волновая функция должна удовлетворять еще и ряду ограничительных условий. Функция должна быть во всем объеме конечной, однозначной и непрерывной.

Если силовое поле, в котором движется частица, стационарно, то энергия U не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В этом случае решение уравнения Шредингера распадается на два множителя, один из которых зависит только от координат, другой – только от времени:

. (5.16)

Здесь Е– полная энергия частицы, которая в случае стационарного поля остается постоянной.

Подстановка (5.16) в уравнение Шредингера (5.12) приводит к дифференциальному уравнению, определяющему функцию ψ(x,y,z).

. (5.17)

В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения вида (5.17) имеют решения, удовлетворяющие вышеуказанным условиям, не при любых значениях параметра (т.е. энергии Е), а лишь при некоторых избранных. Решение уравнения показало, что ряд дискретных значений энергии «разрешенных орбит» в точности соответствуют энергии в теории Бора, но электронные «орбиты» в данном случае отсутствовали. Вместо этого каждому энергетическому состоянию соответствовала волновая функция, которая описывала амплитуду электронной волны в любой точке окрестности ядра. Квадрат этой амплитуды пропорционален вероятности нахождения электрона в данной точке.

Согласно квантовому представлению для электрона существует лишь электронная плотность вероятности в виде облака, симметрично расположенного около ядра. Электрон не находится на каком - то точно определенном расстоянии от ядра, не существует электронных «орбит», а вместо этого имеется размытое электронное распределение рис. 5.3. Можно указать лишь вероятность того, что электрон находится на данном расстоянии от ядра.

Волновая функция зависит от трех квантовых чисел: главного (n), орбитального (или азимутального) lи магнитного (m)ψ(х, у, z, t)_n,l,m .

Квантовые числа были впервые введены в физику для описания найденных эмпирически закономерностей атомных спектров, однако смысл квантовых чисел и связанной с ними дискретности некоторых физических величин, характеризующих поведение микрочастиц, был раскрыт лишь квантовой механикой.