коэффициент

(Ka′)3/2 =5400

(при Т2 в Н∙м, [σH ] в МПа, а в мм, стальном червяке, бронзовом (чугунном) венце

колеса). Требуемое условием контактной выносливости расстояние (10.11) позволяет вписать передачу в стандартное межосевое расстояние.

Рисунок 10.7 – Осевой шаг нарезки архимедова червяка;

силы, действующие на червяк

10.6 Силы в червячной передаче

На рисунке 10.8 показана окружная сила

на червяке (с правой нарезкой) (создающая момент, уравновешивающий вращающий момент Т1) и окружная сила на колесе

(создающая момент, движущий колесо). Сила (10.12) имеет пару во взаимодействии червяка с колесом – осевую силу на колесе:

Fa2 = Ft1 ;

сила (10.13) – осевую силу на червяке:

Fa1 = Ft 2 .

71

Радиальные силы раздвигают червяк и колесо. Радиальная сила на червяк (рис.

10.7)

Fr1 = Fa1 tg20° = Ft 2tg20°.

Такая же радиальная сила действует на колесо.

Рисунок 10.8 – Сила в червячном зацеплении

Лекция 11. Геометрические характеристики плоских фигур

11.1 Статические моменты площади

Рассмотрим (рис.11.1) произвольную плоскую фигуру, отнесенную к осям x, y. Статические моменты площади фигуры

где интегрирование распространяется на всю площадь фигуры А. Поскольку ординаты y и абсциссы x элементов площади dA могут быть как положительными, так и отрицательными, статические моменты (11.1)

Sx >< 0, Sy >< 0.

Если статический момент, например, Sx равен нулю, ось x – центральная (содержащая центр тяжести фигуры).

Рисунок 11.1 – К написанию формул (11.2)

72

Sy1 = Sy − aA .

Пусть оси x1 , y1 центральные, О1 – центр тяжести фигуры. Координаты центра тяжести в осях x, y

Если центр тяжести фигуры известен, статические моменты фигуры относительно произвольных осей х, у

Формулы (11.3), (11.4) можно использовать в определении координат центра тяжести составных фигур:

где Ak , yck , xck – площадь и координаты центра тяжести k-ой части фигуры, n –

число частей.

Если фигура симметрична (рис. 11.2), ее статический момент относительно оси симметрии равен нулю, ось симметрии – центральная ось. Действительно,

Sy = ∫xdA = ∫x1dA + ∫x2dA = ∫(−x2 )dA + ∫x2dA = 0.

Рисунок 11.2 – Симметричная фигура

11.2 Моменты инерции

Геометрические характеристики второго порядка – моменты инерции:

осевые

73

перейдем в интегралах (11.5, 11.6) от координат х, у к координатам (11.2) при учете определений (11.1):

Ix1 = ∫y12dA = ∫(y −b)2 dA = ∫y2dA − 2b∫ydA +b2 ∫dA = Ix − 2bSx +b2 A,

= Ixy − aSx −bSy + abA.

Если оси x , y центральные, статические моменты Sx ,Sy равны нулю: моменты инерции (11.7)

При переходе от центральных осей к нецентральным осевые моменты инерции (11.8) возрастают, центральный момент инерции (11.8) может возрасти, но может и уменьшиться (в зависимости от знаков координат a,b нового начала О1, в

прежних осях x , y).

Центробежный момент инерции относительно осей, одна из которых ось симметрии, равен нулю. В общем случае всегда найдется пара взаимно перпендикулярных осей u, v, относительно которых Iuv = 0 . Такие оси называются

главными. Главные оси найдутся и среди центральных, они называются главными центральными (естественными) и играют в прикладной механике важную роль.

11.3 Геометрические характеристики простейших фигур

К простейшим относим прямоугольник и круг. Рассмотрим (рис. 11.3) прямоугольник и найдем координаты его центра тяжести. Статические моменты бесконечно узкой полоски, показанной на рисунке,

dSx1 = ∫ y1 (dy1dx1 )= y1dy1 ∫b dx1 =by1dy1 ,

элементов полоски эти величины одинаковы). Статический момент прямоугольника

ордината центра тяжести

y1c = Sx1 = bh2 = h ,

A 2bh 2

74

абсцисса центра тяжести, очевидно,

x1c = b2 .

Центр тяжести прямоугольника находится на пересечении его диагоналей.

Рисунок 11.3 – Прямоугольное сечение

Найдем центробежный момент инерции относительно осей x1 , y. Оси x1 , y1 не центральные, воспользуемся формулой (11.7):

Результат очевидный, ибо ось y – ось симметрии прямоугольника. Таким же будет центробежный момент инерции относительно центральных осей x и y – это главные центральные оси.

Найдем главные оси в точке О1. На рисунке 11.4 показаны произвольные оси u и v. Новые координаты элемента площади dA находятся из рассмотрения заштрихованных треугольников:

u= x1 cosα + y1 sinα , v = −x1 sinα + y1 cosα .

Моменты инерции относительно новых осей u и v

Iu = ∫v2dA = ∫(−x1 sinα + y1 cosα)2 dA =(sinα)2 ∫x12dA −(2sinα cosα)

75

Iuv = ∫uvdA = ∫(x1 cosα + y1 sinα)(−x1 sinα + y1 cosα)dA =

AA

=−(cosαsinα)∫x12dA −(sin2 α)∫x1 y1dA + cos2 α∫x1 y1dA +(cosαsinα)∫y12dA =

A A A A

= Ix1 −2 Iy1 sin 2α + Ix1y1 cos2α.

Если оси u и v – главные, центробежный момент инерции

Iuv = 0 ;

угол, определяющий направление главных осей, находится из уравнения

Покажем, что осевой момент инерции (11.9) относительно главной оси экстремален: производная, отвечающая экстремуму функции Iu (α),

tg2α2 = tg2(α1 +90°)= tg(2α1 +180°)= tg2α1 .

Рисунок 11.4 – Преобразование координат при повороте осей

Уравнению (11.10) удовлетворяют два значения угла α : α1 и α2 =α1 +90°. Действительно,

tg2α2 = tg2(α1 +90°)= tg(2α1 +180°)= tg2α1 .

76