Элементарная математика / Ponarin-I

В это выражение векторы вершин четырехугольника входят равноправно. Поэтому точка G будет и серединой отрезков P Q и EF .

О п р е д е л е н и е. Точка пересечения средних линий четырехугольника называется центроидом этого четырехугольника.

Вектор центроида G имеет выражение:

При совпадении точек O и G будем иметь:

GA + GB + GC + GD = 0.

Теорема. Четыре отрезка, каждый из которых соединяет вершину четырехугольника с центроидом треугольника, образованного оставшимися тремя вершинами, пересекаются в центроиде четырехугольника и делятся им в отношении 3 : 1, считая от вершин.

В самом деле, если G1 — центроид треугольника BCD, то для любой точки O согласно (4.1)

1

OG1 = 3 (OB + OC + OD).

Разделим отрезок AG1 в отношении 3 : 1. Вектор делящей точки ра-

вен

чем и заканчивается доказательство.

11.2. Длины средних линий и расстояние между серединами диагоналей четырехугольника. Выведем сперва удобную в применениях формулу для скалярного произведения произвольных векторов AB и CD. Пользуясь теоремой косинусов (3.6), находим:

2AB · CD = 2AB(AD − AC) =

= 2AB · AD − 2AB · AC = AB2 + AD2 − BD2 − AB2 − AC2 + BC2.

Итак,

Отсюда следует:

AB CD AD2 + BC2 = AC2 + BD2,

(11.3)

AC BD AD2 + BC2 = AB2 + CD2.

Таким образом, две противоположные стороны четырехугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма квадратов двух

81

других противоположных сторон равна сумме квадратов диагоналей. Диагонали четырехугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов противоположных сторон равны.

Введем постоянные обозначения: AB = a, BC = b, CD = c, DA = d, AC = e, BD = f. Запишем два представления вектора MN: MN = MA + + AD + DN и MN = MB + BC + CN. Складывая их и учитывая, что MA + MB = 0 и DN + CN = 0 (рис. 77), по-

Итак, MN2 = 14 (b2 + d2 + e2 + f2 − a2 − c2). Аналогично

Последнюю из этих формул называют формулой Эйлера. Рассмотрим некоторые частные случаи.

1)Если четырехугольник ABCD — параллелограмм, то середины E

иF его диагоналей совпадают. Следовательно,

т. е. сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

2) Если четырехугольник ABCD — трапеция с основаниями AB и CD, то (11.2) принимает вид: −2ac = d2 + b2 − e2 − f2, откуда e2 + f2 = = b2 + d2 + 2ac и поэтому

3) Треугольник можно рассматривать как вырожденный четырехугольник с двумя совпавшими вершинами. Скажем, если точки C и D

82

5)Средние линии четырехугольника равны тогда и только тогда, когда равны суммы квадратов его противоположных сторон.

6)Расстояние между серединами диагоналей четырехугольника равно длине его средней линии тогда и только тогда, когда сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов противоположных сторон, содержащих концы этой средней линии.

11.3. Зависимость между длинами сторон и диагоналей четырехугольника. Шесть расстояний между четырьмя произвольными точками плоскости, взятыми попарно, связаны соотношением:

a2c2(b2 + d2 + e2 + f2 −a2 −c2) + b2d2(a2 + c2 + e2 + f2 −b2 −d2) +

+ e2f2(a2 + c2 + b2 + d2 −e2 −f2) = (abe)2 + (bcf)2 + (cde)2 + (daf)2. (11.9)

Доказательство этой зависимости выходит за рамки настоящего пособия.

В силу формул (11.5) соотношение (11.9) эквивалентно такому:

(2AB · CD · MN)2 + (2BC · AD · P Q)2 + (2CA · BD · EF )2 =

= (AB ·BC ·CA)2 + (BC ·CD ·DB)2 + (CD ·DA·AC)2 + (DA·AB ·BD)2.

Равенство (11.9) можно представить еще и в таком виде:

0 a e d 1

83

d2 = a2 + b2 + c2 − 2ab cos B − 2bc cos C + 2ac cos(A + D). (11.12)

Теорему косинусов для четырехугольника можно получить без использования векторов на основании теоремы косинусов для треугольника и третьей формулы (11.5). В самом деле, стороны ME и MF треугольника EMF (рис.76) параллельны соответственно DC и AB, поэтому EMF = w. Так как e2 = a2 + b2 −2ab cos B и f2 = b2 + c2 −2bc cos C, то

EF 2 = 14 (a2 + b2 + c2 + d2 − a2 − b2 + 2ab cos B − b2 − c2 + 2bc cos C) = = 14 (d2 − b2 + 2ab cos B + 2bc cos C).

c 2

С другой стороны, EF 2 = ME2 + MF 2 − 2ME · MF cos w = 2 +

+ a2 2 − 2 2c · a2 cos w.

Приравнивая два полученных выражения для EF 2, приходим к соотношению (11.11).

84

11.5. Соотношение Бретшнайдера. Другим аналогом теоремы косинусов для треугольника служит интересная зависимость между элементами простого четырехугольника ABCD:

либо внутри стороны AD, либо в точке D, либо вне отрезка AD. Соответственно этим случаям угол CDC1 равен либо B + D, либо 180◦, либо 360◦ − ( B + D). В первом и третьем случаях из треугольников ACC1 и DCC1 по теореме косинусов получаем ( CAC1 = BAD):

CC12 = e2 + dea 2 − 2 dea2 cos A, CC12 = c2 + bda 2 − 2 bcda cos(B + D).

Приравняем правые части этих равенств и заметим, что a2 + d2 − 2ad cos A = f2.

85

Так как cos(180◦ + B) = − cos B = −a2 + b2 − e2 , то (ef)2 = (ac)2 + (bd)2 +

2ab

+ cd(a2 + b2 −e2) = ca2(c + d) + db2(c + d) −cde2 = ca2e + db2e −cde2. Итак,

1e (ca2 + db2) = 1e ((e − d)a2 + db2) = a2 + de (b2 − a2).

нимает вид:

f2 = ab − cd

(см. § 2, задачу 1).

Упражнения

11.1.Дан четырехугольник ABCD. Докажите, что четырехугольник с вершинами в центроидах треугольников BCD, CDA, DAB, ABC гомотетичен четырехугольнику ABCD. Найдите центр и коэффициент гомотетии.

11.2.Докажите, что средние линии четырехугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда его диагонали равны.

11.3.Выведите для четырехугольника формулы, аналогичные формулам (3.3) проекций для треугольника.

11.4.Докажите теорему косинусов (11.11), пользуясь результатом предыдущей задачи.

11.5.На сторонах треугольника вне его построены правильные треугольники. Докажите, что центры этих треугольников являются вершинами правильного треугольника.

11.6.На стороне BC треугольника ABC вне его построен правильный треугольник BCD. Докажите, что

AD2 = 12 (a2 + b2 + c2) + 2√3S,

где S — площадь треугольника ABC.

87

11.7.На сторонах треугольника ABC вне его построены квадраты с центрами A1, B1, C1. Докажите, что AA1 = B1C1, BB1 = C1A1,

CC1 = A1B1.

11.8.На сторонах выпуклого четырехугольника вне его построены

квадраты. Докажите, что расстояния между центрами квадратов, построенных на противоположных сторонах, равны.

11.9.Докажите, что для всякого четырехугольника сумма квадратов его сторон не меньше суммы квадратов его диагоналей.

11.10.Докажите, что сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов ее боковых сторон, увеличенной на удвоенное произведение оснований.

11.11.Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 90◦ или 270◦, то квадрат произведения его диагоналей равен сумме квадратов произведений противоположных сторон. Докажите.

11.12.Докажите, что в параллелограмме с углом 45◦ квадрат произведения диагоналей равен сумме четвертых степеней его соседних сторон.

11.13.Докажите соотношение (11.15) Стюарта, не пользуясь соотношением Бретшнайдера.

11.14.Докажите, что расстояние от вершины C прямого угла прямоугольного треугольника ABC до произвольной точки D его гипотенузы выражается формулой:

CD2 = c12 (a2m2 + b2n2),

где a и b — катеты, m и n — отрезки гипотенузы.

11.15. Проверьте, что если точки A, B, C, D лежат на прямой и пара (A, C) разделяет пару (B, D), то

AC · BD = AB · CD + BC · DA.

§12. Площадь четырехугольника

12.1.Формулы площади четырехугольника общего вида. Пусть даны длины e и f диагоналей AC и BD четырехугольника ABCD и угол f между ними. Проведем через вершины A и C прямые параллельно BD, а через вершины B и D — прямые параллельно AC (рис.84). Тогда получим параллелограмм MNP Q, в котором стороны равны соответственно диагоналям данного четырехугольника, а угол параллелограмма равен углу между диагоналями четырехугольника. Легко видеть, что площадь этого параллелограмма вдвое больше площади данного

88

четырехугольника как для выпуклого, так и для невыпуклого четырехугольников. Следовательно,

N P A C

Рис. 84

Эта формула говорит о том, что четырехугольник равновелик треугольнику, две стороны которого равны и параллельны диагоналям этого четырехугольника.

Выразим площадь четырехугольника через длины его сторон и диагоналей. В соответствии с формулой (11.2)

2AC · BD = AD2 + BC2 − AB2 − CD2,

89

где p = 12 (a + b + c + d) — полупериметр четырехугольника. Для этого еще раз используем (12.1):

4S2 = (ef)2 − (ef)2 cos2 f.

Первое слагаемое (ef)2 заменим его выражением (11.13), а второе — по формуле (12.2). В результате будем иметь:

4S2 = (ac)2 + (bd)2 − 2abcd cos(A + C) − 14 (a2 + c2 − b2 − d2)2.

Поскольку (ac)2 + (bd)2 = (ac + bd)2 − 2abcd, то

16S2 = 4(ac+ bd)2 −(a2 + c2 −b2 −d2)2 −8abcd(1 + cos(A+ C)) =

=(2ac+2bd+a2+c2−b2−d2)(2ac+2bd−a2−c2+b2+d2)−16abcd cos2 A+ C =

2

=(a+b+c−d)(a+b−c+d)(a−b+c+d)(−a+b+c+d)−16abcd cos2 A+2 C .

Представим a + b + c −d так: a + b + c −d = (a + b + c + d) −2d = 2p −2d = = 2(p − d). Аналогично a + b − c + d = 2(p − c), a − b + c + d = 2(p − b), −a + b + c + d = 2(p − a).

После подстановки в выражение для 16S2 и сокращения на 16 приходим к доказываемому равенству (12.5).

12.2. Следствия из общих формул площади четырехугольника. Применим полученные формулы к четырехугольникам частных видов.

1. Если диагонали четырехугольника ABCD перпендикулярны, то sin f = 1 и согласно формуле (12.1)

Она впервые была получена индийским математиком Брахмагуптой в VII веке и носит его имя — формула Б р а х м а г у п т ы для площади вписанного четырехугольника. Эта формула следует также из (12.4), поскольку для вписанного четырехугольника ef = ac + bd.

3. Пусть во вписанном четырехугольнике ABCD вершины A и D совпадают. Тогда d = 0 и формула (12.7) переходит в формулу Герона для площади треугольника ABC:

90