Элементарная математика / Ponarin-I

aотрезка, а направление параллельно CD, приво-

Mдит к желаемой цели. Пусть Tr—(B) = B1 (рис. 29).

aВеличина a угла AMB определяется хордой AB и данной окружностью. Поскольку (MB) k (P B1),

то AP B1 = a. Итак, из точки P известный отрезок AB1 «виден» под известным углом a. Построение выполняем в следующем порядке: строим B1 = Tr—(B), на от-

резке AB1 строим дуги окружностей, являющиеся множеством точек плоскости, из которых этот отрезок «виден» под углом a. Искомая точка P является точкой пересечения этих дуг с хордой CD. Построение точки M уже очевидно. Исследование проводить не будем.

Задачи на доказательство и вычисление

1.56.Если в треугольнике две медианы равны, то он равнобедренный. Докажите.

1.57.Докажите, что сумма боковых сторон трапеции больше разности ее оснований, а сумма диагоналей трапеции больше суммы оснований.

1.58.Внутри прямоугольника ABCD взята точка M. Докажите, что существует выпуклый четырехугольник с перпендикулярными диагоналями, равными AB и BC, и сторонами, равными AM, BM, CM, DM.

1.59.На продолжении основания AB равнобедренного треугольника ABC взята произвольная точка M. Докажите, что разность расстояний точки M до прямых AC и BC не зависит от выбора этой точки.

172

1.60.Найдите длину отрезка, соединяющего середины оснований трапеции, если известны длины всех ее сторон.

1.61.Две равные окружности касаются внешним образом в точке K. Хорды KA и KB этих окружностей перпендикулярны. Найдите AB, если радиусы окружностей имеют длину r.

1.62.Две равные окружности пересекаются в точках P и Q. Прямая, параллельная их линии центров, пересекает их соответственно в точках A и B, C и D (AB = CD). Докажите, что величина угла AP C не зависит от выбора этой прямой.

1.63.Дан четырехугольник ABCD и векторы u¯ и v¯. Если A1 = Tu—(A), C1 = Tu—(C), B1 = Tv—(B), D1 = Tv—(D), четырехугольник A1B1C1D1 равновелик данному. Докажите.

1.64.Точка H — ортоцентр треугольника ABC. Докажите, что AB2 + CH2 = 4R2, где R — радиус описанной около треугольника окружности.

Задачи на построение

1.65.На стороне угла с вершиной O дана точка M. Постройте отрезок, равный отрезку OM, не используя точку O.

1.66.Постройте трапецию по четырем ее сторонам.

1.67.Постройте трапецию по боковым сторонам, разности оснований

иодной диагонали.

1.68.Постройте трапецию по разности оснований, диагонали и двум углам, прилежащим к одному основанию.

1.69.Постройте трапецию по ее основаниям и диагоналям.

1.70.Постройте отрезок заданной длины с концами на данных окружностях и параллельный данной прямой.

1.71.Даны две окружности и прямая, не параллельная и не перпендикулярная их линии центров. Параллельно данной прямой проведите прямую так, чтобы эти окружности высекали на ней равные хорды.

1.72.Даны три прямые, две из которых параллельны. Постройте правильный треугольник по заданной его стороне так, чтобы его вершины лежали по одной на данных прямых.

1.73.Постройте окружность данного радиуса, касающуюся данной прямой и данной окружности.

1.74.Постройте параллелограмм ABCD, вершины которого лежат по одной на прямых, содержащих стороны данного четырехугольника, если вершины A и B заданы.

1.75.Постройте треугольник по трем его медианам.

1.76.Постройте четырехугольник ABCD, если известны его стороны AB и CD, диагонали и угол между диагоналями.

173

1.77. По разные стороны от реки находятся пункты A и B. Где надо построить мост через реку, чтобы путь из A в B через этот мост был кратчайшим?

Задачи для внеклассной работы

1.78.В трапеции ABCD с основаниями BC и AD биссектрисы углов A и B пересекаются в точке M, биссектрисы углов C и D пересекаются в точке N. Докажите, что |AB + CD − BC − AD| = 2MN.

1.79.Дан произвольный треугольник ABC, в котором сторона AB наибольшая. На сторонах AC и BC вне треугольника построены произвольные параллелограммы AA1C1C и BB2C2C. Прямые A1C1 и B2C2 пересекаются в точке D. На стороне AB также вне треугольника построен параллелограмм ABB3A3 такой, что AA3 = DC. Докажите, что площадь этого параллелограмма равна сумме площадей первых двух параллелограммов (теорема Паппа).

1.80.Между пунктами A и B текут две реки. Где надо построить мосты через реки, чтобы путь из A в B через эти мосты был кратчайшим?

1.81.Через точку пересечения двух данных окружностей проведите прямую так, чтобы отрезок этой прямой, заключенный внутри окружностей, был равен данному отрезку a.

1.82.Даны две окружности и точка A. Проведите через точку A прямую так, чтобы эти окружности высекали на ней равные хорды.

1.83.Постройте четырехугольник по четырем его сторонам и углу между прямыми, содержащими две противоположные стороны.

§5. Поворот

5.1.Определение и свойства поворота. Поворотом плоскости около данной точки O на заданный ориентированный угол величины a назы-

MO называется центром поворота, а величина a — углом поворота.

Число a считается положительным, если угол MOM0 ориентирован против движения часовой стрелки, и отрицательным — в противном случае. Поворот с центром O на угол a обознача-

ют Ra .

O

174

Можно доказать, что если угол между каждым лучом и его образом при движении постоянен (не зависит от выбора луча), то это движение является поворотом.

5.3. Два способа построения центра поворота. Центр поворота, отличного от тождественного, является единственной его неподвижной точкой. Если угол поворота отличен от 180◦, то не существует двойных прямых поворота. Поворот как движение первого рода можно задать двумя парами A → A1, B → B1 соответственных точек с условием A1B1 = AB. Полагаем, что ни одна из точек A и B не совпадает со своим образом.

При A1B1 = −AB имеем центральную симметрию. Если O — искомый центр поворота, то OA1 = OA и OB1 = OB. Значит, точка O необходимо принадлежит серединному перпендикуляру для каждого из отрезков AA1 и BB1. Если общая точка этих перпендикуляров единственна, то она и будет искомым центром заданного поворота (рис. 33). Совпадение указанных серединных перпендикуляров возможно, очевидно, в случае, когда точки A и A1, B и B1 соответственно симметричны относительно некоторой прямой l, при этом либо (AA1) 6= (BB1) (рис. 34), либо (AA1) = (BB1) (рис. 31). В первом случае O = (AB) ∩ (A1B1), а во втором — O = l ∩ (AB).

Рассмотрим другой способ построения центра поворота. Пусть прямые AB и A1B1 пересекаются в точке K (рис. 35). Искомый центр O поворота является второй общей точкой окружностей AA1K и BB1K. Если, в частности, A1 = K, то окружность AA1K касается прямой A1B1 в точке A1.

§6. Решение задач с помощью поворота

Вприведенных ниже решениях задач на доказательство вычисление

ипостроение демонстрируется использование поворота в различных ситуациях. Как можно заметить, приемы применения поворота аналогич-

176

угольника до центра квадрата, если сумма длин катетов треугольника равна m.

lABC удовлетворяет требованиям задачи (рис. 41). Очевидно, RA60◦ (C) = B.

Пусть a1 — образ окружности a при этом повороте. Так как C a, то B a1.

Кроме того, B l и поэтому B a ∩ l. Это и дает ключ к решению задачи. Построение выполняем в следующем порядке: строим a1 = RA60◦ (a), l ∩ a1 = {B, B1}, на отрезках AB и AB1 строим правильные треуголь-

178

Задачи на доказательство

1.84.Некоторая фигура F отображается на себя при повороте на 48◦ около точки O. Будет ли она отображаться на себя при повороте с центром O на 72◦? на 90◦?

1.85.На сторонах AB и BC треугольника ABC построены соответственно квадраты ABP Q и BCMN, причем квадрат ABP Q и треугольник ABC находятся в разных полуплоскостях от прямой AB, а квадрат BCMN — в одной полуплоскости с этим треугольником относительно прямой BC. Докажите, что отрезки P N и AC равны и перпендикулярны.

1.86.Через центр правильного треугольника проведены две прямые, угол между которыми равен 60◦. Докажите, что отрезки этих прямых, являющиеся их пересечением с треугольником, равны.

1.87.Через центр квадрата проведены две перпендикулярные прямые. Докажите, что точки пересечения их со сторонами квадрата являются вершинами некоторого квадрата.

179

1.88.Точки M, P , N, Q принадлежат последовательно прямым, содержащим стороны квадрата. Докажите, что если отрезки MN и P Q перпендикулярны, то они равны.

1.89.Докажите, что точки пересечения диагоналей правильного пятиугольника служат вершинами также правильного пятиугольника.

1.90.Точки M, N, P , Q — середины сторон AB, BC, CD, DA квадрата ABCD соответственно. Докажите, что точки пересечения прямых AN, BP , CQ, DM являются вершинами квадрата.

1.91.Дан ромб ABCD, в котором B = 60◦. Прямая a пересекает стороны BC и CD в точках M и N так, что сумма CM + CN равна длине стороны ромба. Докажите, что треугольник AMN правильный.

1.92.Внутри квадрата ABCD взята произвольная точка P . Через вершины A, B, C, D проведены перпендикуляры к прямым P B, P C, P D, P A соответственно. Докажите, что эти перпендикуляры пересекаются в одной точке.

1.93.На гипотенузе прямоугольного треугольника ABC вне его построен квадрат с центром O. Докажите, что луч CO есть биссектриса прямого угла ACB.

1.94.На сторонах AB и BC параллелограмма ABCD выбраны соответственно точки H и K так, что KA = KB и HC = CB. Докажите, что треугольник KDH равнобедренный и точки K, A, D, C, H лежат на одной окружности.

1.95.На сторонах AB и AC треугольника ABC вне его построены квадраты ABDE и ACP Q. Докажите, что

1) медиана AK треугольника ABC перпендикулярна прямой QE и

AK = 12 QE;

2) медиана AM треугольника AQE перпендикулярна прямой BC и AM = 12 BC.

1.96.На дуге AB описанной около правильного треугольника ABC окружности взята точка M. Докажите, что MC = MA + MB.

1.97.Два равных одинаково ориентированных квадрата ABCD и AB1C1D1 имеют общую вершину A. Докажите, что прямые BB1, CC1, DD1 пересекаются в одной точке.

1.98.Даны две окружности, каждая из которых проходит через центр другой. Через точку пересечения окружностей проведена прямая, пересекающая их вторично в точках M и N. Докажите, что угол между касательными к окружностям в точках M и N равен 60◦.

1.99.На сторонах AB и BC треугольника ABC вне его построены квадраты ABMN и BCP Q. Докажите, что центры этих квадратов и середины отрезков AC и MQ являются вершинами квадрата.

180