Элементарная математика / Ponarin-I

УДК 514.112 ББК 22.151.0 П56

Понарин Я. П.

П56 Элементарная геометрия: В 2 т. — Т.1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004.— 312 с.: ил.

ISBN 5-94057-170-0

ISBN 5-94057-171-9 (том 1)

Данное пособие призвано возродить интерес к элементарным методам решения геометрических задач. В нем приведены яркие геометрические сведения, не вошедшие в современный школьный учебник. Например, формула Эйлера, окружность девяти точек, теорема Птолемея, геометрические неравенства и многое другое.

Книга адресована всем, кто желает расширить и углубить знания по элементарной геометрии, — от школьников средних классов до учителей математики и студентов педагогических вузов.

ББК 22.151.0

7.1.Критерии вписанного четырехугольника (53). 7.2. Критерии описанного четырехугольника (54). 7.3. Невыпуклый четырехугольник, ассоциированный с описанным четырехугольником (56).

§8. Теорема Симсона и теорема Птолемея . . . . . . . . . . . . . . . . 61

8.1.Теорема Симсона (61). 8.2. Теорема Птолемея (62).

9.1.Теорема Чевы (68). 9.2. Тригонометрическая (угловая) форма теоремы Чевы (69). 9.3. Изотомическое и изогональное соответствия (70).

§10. Классические теоремы о коллинеарности трех точек . . . . . . . 75

10.1.Теорема Менелая (75). 10.2. Теорема Гаусса (76). 10.3. Теорема Дезарга (77). 10.4. Теорема Паскаля для треугольника (78).

10.5.Теорема Паскаля для вписанного шестиугольника (79).

§11. Метрические соотношения в четырехугольнике . . . . . . . . . . 82

11.1.Центроид четырехугольника (82). 11.2. Длины средних линий и расстояние между серединами диагоналей четырехугольника (83). 11.3. Зависимость между длинами сторон и диагоналей четырехугольника (85). 11.4. Теорема косинусов для четырехугольника (86). 11.5. Соотношение Бретшнайдера (87). 11.6. Следствия из соотношения Бретшнайдера (88).

12.1.Формулы площади четырехугольника общего вида (91).

12.2.Следствия из общих формул площади четырехугольника (92).

§13. Геометрические неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

13.1.Использование неравенств между сторонами и углами треугольника (97). 13.2. Неравенства как следствия тождественных равенств (99). 13.3. Использование ограниченности функций синуса и косинуса (101). 13.4. Использование неравенств для скалярного произведения векторов (102). 13.5. Применение алгебраических неравенств для средних величин двух положительных чисел (103). 13.6. Получение неравенств из известных тождеств и неравенств (105). 13.7. Использование чертежа, дополнительных построений (106).

§14. Геометрические экстремумы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

14.1.Экстремальные свойства суммы и произведения положительных чисел (111). 14.2. Экстремальные значения синуса и косинуса (112). 14.3. Об эквивалентности задач на экстремумы (113).

14.4.Применение геометрических преобразований (113). 14.5. Экстремальные значения квадратного трехчлена (114).

§15. Экстремальные свойства правильных многоугольников . . . . . 118

15.1.Изопериметрическая задача (118). 15.2. Общие свойства изопериметрических фигур максимальной площади (119). 15.3. Две

4

подготовительные задачи (119). 15.4. Изопериметрическая теорема для многоугольников (121). 15.5. Экстремальное свойство правильного многоугольника из множества многоугольников, вписанных в данную окружность (123). 15.6. Экстремальное свойство правильного многоугольника из множества многоугольников, описанных около одной окружности (124).

§ 16. Радикальная ось и радикальный центр окружностей . . . . . . . 126 16.1. Степень точки относительно окружности (126). 16.2. Радикальная ось двух окружностей (126). 16.3. Характеристические свойства точек радикальной оси окружностей (128). 16.4. Радикальный центр трех окружностей (129).

§ 17. Пучки окружностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

17.1.Определение пучка окружностей. Виды пучков (130).

17.2.Критерии пучка окружностей. Задание пучка (132). 17.3. Ортогональные пучки окружностей (133). 17.4. Задание окружности данного пучка (134).

Часть II. Преобразования плоскости

Введение. Отображения и преобразования множеств . . . . . . . . . . 157

3.1.Определение и свойства осевой симметрии плоскости (169).

3.2.Решение задач с помощью осевой симметрии (171).

5

7.1.Композиция центральных симметрии и переносов (187).

7.2.Композиция двух осевых симметрий с параллельными осями (188). 7.3. Представление переноса композицией осевых симметрий (189). 7.4. Композиция двух осевых симметрий с непараллельными осями (189). 7.5. Представление поворота композицией осевых симметрий (190). 7.6. Композиция двух поворотов (190).

7.7.Композиция поворота и переноса (191). 7.8. Переносная симметрия (191). 7.9. Композиция переноса и осевой симметрии (192).

7.10.Движения плоскости как композиции осевых симметрий (192).

§ 9. Координатные формулы движений плоскости . . . . . . . . . . . . 197 9.1. Формулы переноса и центральной симметрии (197). 9.2. Формулы поворота (198). 9.3. Формулы осевой симметрии (198). 9.4. Формулы движений I и II рода (199). 9.5. Решение задач с использованием координатных формул движений (200).

§ 10. Комбинирование метода преобразований и векторного метода решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

10.1. Движение вектора (202). 10.2. Решение задач с помощью поворота вектора (203).

6

7

Предисловие

Геометрию считают трудным предметом. А трудность ее в том, что по сравнению с алгеброй она мало алгоритмизирована. Почти каждую содержательную задачу можно решить несколькими способами, используя различные методы. Поэтому геометрия содержит в себе огромный потенциал для развития гибкости ума, пластичности мышления и конструктивных способностей учащихся, для воспитания у них чувства прекрасного.

Входе реформы школьного математического образования, повлекшей за собой перестройку учебных планов и программ на математических факультетах педагогических институтов, допущены существенные просчеты и перегибы. Со страниц школьных учебных пособий по геометрии исчезли многие замечательные геометрические факты, своего рода геометрические «жемчужины», использовавшиеся при доказательствах теорем и решении задач. Новые же методы — векторный, координатный, метод преобразований — не заняли должного места в преподавании геометрии и им все меньше уделяется внимания. В этом, на мой взгляд, заключается одна из основных причин значительного понижения уровня теоретической и практической подготовки по геометрии выпускников средних школ.

Всистеме школьного математического образования геометрии отводится второе, если не третье, место. «Упрощение» геометрии идет по пути ее алгебраизации и изъятия геометрических жемчужин. Чисто геометрические методы постепенно отходят на второй план. Важнейший из таких методов — метод геометрических преобразований — до сих пор не нашел своего места в школьном курсе геометрии. Его пытались изучать

ссамого начала, растянув на всю восьмилетнюю школу. Теперь предлагается заняться им в конце изучения планиметрии. Но по-прежнему ученики не владеют им даже на начальном уровне.

Данное пособие призвано возродить интерес к элементарным методам в геометрии. Оно адресовано всем, кто желает расширить и углубить знания по элементарной геометрии, совершенствовать технику решения планиметрических задач элементарными средствами. Такими читателями являются прежде всего учащиеся математических классов и школ, их преподаватели, учителя математики общеобразовательных школ, студенты педагогических вузов.

При отборе материала всегда есть опасность, с одной стороны, уто-

нуть в деталях, а с другой — упустить нечто важное с практической и познавательной точек зрения. Поэтому изложенный здесь материал уязвим для критики. Он не регламентирован какой-либо заданной

8

программой. Автор считал необходимым включить «забытый» материал, расширить материал школьных учебников теоремами и формулами, непосредственно связанными с изучаемыми в школьном курсе, и добавить многие факты из классического арсенала элементарной геометрии. За рамки пособия вынесена теория геометрических построений, метод координат и вопросы теории измерения величин в основном по причине ограниченности объема пособия.

Читатель встретит здесь несколько доказательств одного и того же геометрического факта. Эти доказательства позволяют выявить разносторонние связи данного факта с другими, что весьма существенно. Кроме того, знание различных доказательств обеспечивает преподавателю сравнительную свободу в построении своего курса геометрии в соответствии с принятым порядком изложения.

В этом пособии в систематическом виде изложен теоретический и задачный материал по методу геометрических преобразований плоскости. Он позволяет оригинально и красиво решать многие геометрические задачи. Особенно я хочу пробудить интерес к этому методу у молодых учителей, ибо будущее школы в их руках. Совместно с Р. Г. Хазанкиным проведен длительный эксперимент изучения преобразований в девятых и десятых классах на уроках и внеклассных занятиях. Мы старались показать сущность каждого вида преобразования, решая большое количество задач. Этот эксперимент показал, что целесообразнее и эффективнее всего заниматься геометрическими преобразованиями в первой четверти десятого класса перед изучением стереометрии.

Большую часть пособия составляют задачи. Они взяты из указанной литературы, хотя имеются и задачи автора. Они подобраны по темам параграфов и имеются два списка задач общего содержания, в которые включены несколько серий задач, составленных талантливым педагогом и мастером по составлению задач и их решению профессором З.А.Скопецом. Они были опубликованы ранее в «Математике в школе» за 1966—1993 годы и в пособии [29]. Хотя автор и стремился расположить задачи в порядке возрастающей трудности, однако такое расположение оказалось весьма относительным. Трудность задачи — понятие в большой мере субъективное. Найдется немало таких, которые могут представить интерес и для подготовленного читателя.

К большинству задач даны ответы или краткие указания. Считаю, что издание задачников непременно с полными решениями имеет большие негативные последствия. Учитель, не решающий задачи сам, быстро теряет квалификацию. Время, потраченное на решение трудной задачи, окупится сторицей.

9

Книга в основном предназначена для учителей, работающих в математических классах, где она может служить и учебным пособием для учащихся. Ее материал можно с успехом использовать и в неспециализированных классах как на уроках, так и на факультативных и кружковых занятиях. Студенты и преподаватели педагогических вузов найдут здесь немало полезного для своей профессиональной подготовки.

Хочу надеяться, что работа с данной книгой будет приятным занятием и послужит ступенькой к серьезной математике.

Я. П. Понарин

10