Элементарная математика / Ponarin-I

все различны), то по теореме о композиции двух гомотетий Sju (SijSiu)

и Sju0 (Sij0 Siu0 ). Следовательно, шесть точек S12, S120 , S23, S230 , S13, S130 группируются в четыре тройки коллинеарных точек: S12, S23, S12; S12,

S230 , S130 ; S120 , S23, S130 ; S120 , S230 , S13, причем через каждую точку проходят две из полученных четырех прямых.

15.4. Теорема Менелая. Пусть на прямых BC, CA, AB, определяющих треугольник ABC, даны точки A1, B1, C1. Для того, чтобы эти точки лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть точки A1, B1, C1 коллинеарны (рис.90).

Обозначим A1C = k1, B1A = k2, C1B = k3. Тогда HAk1 (B) = C, HBk2 (C) = A

A1B B1C C1A 1 1

и поэтому (HBk21 ◦ HAk11 )(B) = A. Существенно, что k1k2 6= 1, так как из

точек B →A гомотетия определена, то HCk11k2 = HCk31 , откуда k1k2 = k3 или,

с учетом обозначений, A1C · B1A = C1B . А это равенство равносильно

A1B B1C C1A

доказываемому равенству (1).

Обратно, пусть выполняется соотношение (1) и требуется доказать коллинеарность точек A1, B1, C1.

Используя прежние обозначения, имеем: HAk11 (B) = C, HBk21 (C) = A и поэтому (HBk21 ◦ HAk11 )(B) = A. Существенно, что k1k2 6= 1, так как из k1k2 = 1 и равенства (1), которое эквивалентно k1k2 = k3, следовало бы k3 = 1, т. е. C1A = C1B, откуда A = B, что противоречит условию теоремы. Итак, HBk21 ◦ HAk11 есть гомотетия с коэффициентом k1k2 = k3. С другой стороны, HCk31 (B) = A. Поскольку гомотетия определяется коэффициентом k1k2 = k3 и парой точек B →A, то HBk21 ◦HAk11 = HCk31 , откуда следует коллинеарность центров A1, B1, C1 этих гомотетий.

221

§16. Решение задач с помощью композиций гомотетий

За д а ч а 1. Дана трапеция ABCD с основаниями AB и CD. Произвольная точка P прямой BC, отличная от точек B и C, соединена

222

TAB ◦ TCD есть тождественное преобразование и решение существует

для любой точки M прямой a. При исключении трех последних частных случаев существуют две пары точек прямой a, удовлетворяющие заданным условиям. Одно из этих решений показано на рис. 93. Второе получается заменой гомотетии HTl (или переноса TDC) обратным преобразованием.

223

Задачи

2.46.Может ли композиция двух гомотетий с одним и тем же коэффициентом и с центрами A и B быть гомотетией с центром в середине отрезка AB?

2.47.Найдите композицию Tr— ◦ HOk ; HOk ◦ Tr—.

2.48.Существует ли общий коэффициент трех гомотетий с центрами

ввершинах данного треугольника ABC таких, чтобы их композиция была гомотетией с центром в центроиде данного треугольника?

2.49.Даны три параллельных неравных отрезка MN, P Q, RS. Докажите, что три точки пересечения прямых MP и NQ, MR и NS, P R и QS коллинеарны, точки пересечения прямых MQ и NP , QR и P S, MR и NS также коллинеарны.

2.50.Постройте общую пару соответственных точек при двух данных гомотетиях.

2.51.Докажите, что перенос и гомотетия имеют общую пару соответственных точек. Постройте эту пару.

2.52.Точки M и N являются серединами сторон AB и CD прямоугольника ABCD, Q — произвольная точка прямой AC, (QM) ∩(BC) = = P . Докажите, что прямая MN — ось симметрии прямых NQ и NP .

2.53.Через точку M, лежащую на стороне AB параллелограмма ABCD, проведена прямая MP параллельно AC (P (BC)), а через точку B — прямая BN параллельно MD (N (DC)). Докажите, что точки D, Q = (AC) ∩ (BN), P принадлежат одной прямой.

2.54.На сторонах BC, CA, AB треугольника ABC даны соответственно точки A1, B1, C1 такие, что прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке (или параллельны). Докажите, что композиция

трех гомотетий HA1 (B) = C, HB1 (C) = A. HC1 (A) = B есть центральная симметрия. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

2.55. Дан пятиугольник ABCDE. Прямая m пересекает прямые AB, BC, CD, DE, EA в точках M, N, P , Q, S соответственно. Докажите,

2.56.Окружности w1 и w2 с центрами O1 и O2 касаются окружности w в точках A1 и A2. Через точку M окружности w проведены прямые MA1 и MA2, пересекающие w1 и w2 вторично в точках B1 и B2. Докажите, что прямые A1A2, B1B2, O1O2 пересекаются в одной точке или параллельны.

2.57.Дан треугольник ABC и точка Q. Точки M, N, P — ее ортогональные проекции на прямые BC, CA, AB соответственно. Через

224

середины отрезков QM, QN, QP проведены прямые m, n, p параллельно соответственно прямым BC, CA, AB. Докажите, что треугольник, стороны которого принадлежат прямым m, n, p, равен треугольнику с вершинами в серединах сторон треугольника ABC.

§17. Преобразование подобия

17.1.Определение подобия и подобных фигур. Рассмотрим отображение f плоскости на себя, при котором расстояния между точками

умножаются на одно и то же положительное число k: если f(A) = A1 и f(B) = B1, то A1B1 = k ·AB (для любых A, B). Это отображение обратимо, потому что из AB > 0 всегда следует A1B1 > 0. Значит, отображение f — преобразование плоскости.

О п р е д е л е н и е. Преобразование плоскости называется преобразованием подобия, или подобием, если для любых двух точек A и B и

их образов A1 и B1 при этом преобразовании выполняется равенство A1B1 = k · AB, где k — постоянное (положительное) число, называемое

коэффициентом подобия.

В частности, при k = 1 подобие является движением. Гомотетия с коэффициентом k (k 6= 0) есть подобие с коэффициентом |k|, так как по лемме о гомотетии (п. 12.2) A1B1 = k · AB, откуда A1B1 = |k|AB.

Композиция двух подобий с коэффициентами k1 и k2 есть подобие с коэффициентом k1k2. В частности, композиция движения и гомотетии

скоэффициентом k будет подобием с коэффициентом |k|.

Из определения подобия следует также, что преобразование, обратное подобию с коэффициентом k, есть подобие с коэффициентом k1 :

1

AB = k A1B1.

Фигура Φ1 называется подобной фигуре Φ (пишут: Φ1 Φ), если существует подобие, отображающее Φ на Φ1. Отношение фигур «быть подобными» рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Так как движение — частный вид подобия, то равные (конгруэнтные) фигуры подобны. Однако подобные фигуры равны лишь в частных случаях. Поскольку гомотетия есть подобие, то гомотетичные фигуры подобны. Однако подобные фигуры гомотетичными быть не обязаны.

Для треугольников имеются известные признаки подобия. Другие подобные фигуры распознаются на основании определения: подыскивается такое преобразование подобия, которое отображает одну фигуру на другую.

225

17.2. Представление подобия композицией гомотетии и движения. Инварианты подобий. Представление подобия этой композицией имеет решающее значение для изучения подобий.

Теорема. Всякое подобие плоскости можно представить композицией гомотетии с произвольным центром и коэффициентом, модуль которого равен коэффициенту подобия, и некоторого движения.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если fk — подобие с коэффициентом k, то композиция fk ◦ HO1/(±k) гомотетии HO1/(±k) с произвольным центром O и этого подобия есть некоторое движение f : fk ◦ HO1/(±k) = f, так как

эта композиция сохраняет расстояния между точками (k · k1 = 1). Рас-

смотрим композицию (fk ◦ HO1/(±k)) ◦ HO±k = f ◦ HO±k. Используя ассоциативность композиции преобразований и замечая, что HO1/(±k) ◦ HO±k

есть тождественное преобразование, получаем:

Если начать доказательство с рассмотрения движения HO1/(±k) ◦ fk = g, g 6= f, то аналогичным образом будем иметь:

В частности, при fk = HOk движения f и g являются тождественными, а при fk = f = g гомотетия HOk (k = 1) есть тождественное преобразование.

Из разложений (17.1) и (17.2) явствует, что свойства фигур, сохраняющиеся при гомотетии и при движении, сохраняются и при подобии. Они называются инвариантами подобий. Сравнивая п. 1.2 с п. 12.2 и 12.3, получаем следующие инварианты подобий:

1)подобие отображает прямую на прямую, отрезок на отрезок,

2)подобие отображает параллельные прямые на параллельные прямые (но образ прямой не обязан быть параллельным этой прямой),

3)подобие отображает луч на луч, полуплоскость на полуплоскость,

4)подобие отображает угол на равный ему угол,

5)подобие сохраняет отношение длин любых двух отрезков, т. е. отношение длин отрезков равно отношению длин их образов.

Последнее свойство непосредственно следует и из определения подобия: если AB и CD — произвольные отрезки, A1B1 и C1D1 — их образы

при подобии, то A1B1 = k · AB и C1D1 = k · CD, поэтому A1B1 : C1D1 = = AB : CD.

Таким образом, основными инвариантами подобий являются свойства фигур быть прямой (коллинеарность точек), отрезком, лучом, полуплоскостью, углом, a также параллельность прямых, величина угла, отношение длин двух отрезков.

226

§18. Задание подобия плоскости

18.1.Теорема о задании подобия плоскости. Если заданы три некол-

линеарные точки A, B, C плоскости и три точки A1, B1, C1 такие, что A1B1 = k · AB, B1C1 = k · BC, C1A1 = k · CA, то существует одно

итолько одно преобразование подобия плоскости, при котором точки

A, B, C отображаются соответственно на точки A1, B1, C1.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим гомотетию HOk с центром в про-

извольной точке O. Если HOk (A) = A0, HOk (B) = B0, HOk (C) = C0, то точки A0, B0, C0 неколлинеарны и A0B0 = k ·AB, B0C0 = k ·BC, C0A0 = k ·CA.

f(C0) = C1. Композиция f ◦ HOk = fk есть подобие плоскости, при котором A → A1, B → B1 C → C1. Этим существование требуемого подобия доказано.

Докажем его единственность. Пусть имеются два подобия f и y

Вместе с этим доказан признак подобия треугольников по трем сторонам: если соответственные стороны треугольников пропорциональны, то треугольники подобны.

Согласно доказанной теореме, если два подобия имеют три общие пары соответственных точек, то они совпадают.

18.2. Два рода подобий. Построение образа точки при подобии.

Можно доказать, что если треугольник ABC и его образ A1B1C1 при подобии плоскости имеют одинаковые ориентации, то одинаковые ориентации имеют любой другой треугольник и его образ при этом подобии. Если же треугольники ABC и A1B1C1 ориентированы противоположно, то и любой другой треугольник противоположно ориентирован со своим образом. Иначе говоря, существуют две и только две возможности: или подобие сохраняет ориентацию в с е х треугольников, или же оно меняет ориентацию в с е х треугольников на противоположную.

Подобие плоскости, сохраняющее ориентацию треугольников, называется подобием первого рода. Подобие, изменяющее ориентацию треугольников на противоположную, называется подобием второго рода. Гомотетия — подобие первого рода.

227

Композиция гомотетии и поворота с общим центром называется гомотетическим поворотом (или поворотной гомотетией).

Множество различных видов подобий первого рода очень невелико, так как имеет место следующая теорема.

Теорема. Всякое подобие первого рода плоскости, отличное от гомотетии и движения, является гомотетическим поворотом.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть подобие f первого рода задано ком-

подобие f было бы движением или гомотетией, что исключено условием теоремы. При A = B доказывать нечего, и поэтому считаем A 6= B. Если HBk (A) = A0, то f(A) = A0. Если B0 — прообраз точки B

что по определению и есть гомотетический поворот.

Таким образом, всякое подобие первого рода есть либо гомотетия, либо движение (поворот или перенос), либо гомотетический поворот. Гомотетию и поворот можно считать частными случаями гомотетического поворота соответственно при a = 0 и k = 1.

229