Элементарная математика / Ponarin-I

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть M и M0 — произвольный и правильный n-угольники, описанные около данной окружности w. Опишем около M0 окружность и рассмотрим круг K, для которого эта окружность является границей. Площадь многоугольника M0 равна разности SK − − (c1 + c2 + . . . + cn) между площадью SK круга K и суммой площадей ci (i = 1, 2, . . . , n) сегментов этого круга, отсекаемых сторонами

SM >SF = SK − c > SK − (c1 + c2 + . . . + cn) = SM0 .

Так как площадь S и периметр 2p многоугольника M, описанного около окружности w радиуса r, связаны зависимостью S = pr, то при заданном r наименьшие значения S и p достигаются одновременно, т. е. по доказанному выше для правильного n-угольника.

З а д а ч а. Пусть R1, R2, R3 — расстояния от точки M до вершин треугольника ABC. Доказать, что

p√

R1 + R2 + R3 > 2 3S > 6r, (15.2)

где r — радиус вписанной в треугольник ABC окружности.

Р е ш е н и е. Построим точки, симметричные точке M относительно сторон треугольника ABC. Соединив их последовательно с вершинами данного треугольника, получим шестиугольник с площадью 2S и периметром 2(R1 + R2 + R3). Используем изопериметрическое неравенство

R1 + R2 + R3 > 6r.

Равенство достигается только для правильного треугольника и его центра.

121

§16. Радикальная ось и радикальный центр окружностей

16.1.Степень точки относительно окружности. Возвратимся к теореме о хордах и секущих (§ 2). Пусть через внешнюю относительно окружности w(O, R) точку M проведена произвольная секущая, пересекающая эту окружность в точках A и B (рис.114), и касательная MT . Тогда MA ·MB = MT 2 = OM2 −R2. Эта величина не зависит от выбора секущей, а зависит от выбора точки M.

Если точка M лежит внутри окружности w, то проведем через нее две хорды — произвольную хорду AB и хорду CD, перпендикулярную

OM (рис.115). Тогда MA ·MB = MC ·MD = −MC2 = −(OC2 −OM2) =

=OM2 − R2. Наконец, в случае, когда M w, очевидно, OM2 − R2 = 0.

Итак, величина OM2 − R2 при заданной окружности w(O, R) зависит только от положения точки M. Она называется степенью точки M относительно окружности w. Степени точек, лежащих вне окружности w, положительны. Степени точек, лежащих внутри окружности w, отрицательны. Степени точек окружности w равны нулю.

16.2. Радикальная ось двух окружностей определяется как множество точек плоскости, каждая из которых имеет равные степени относительно этих окружностей.

Теорема. Если две данные окружности (O1, R1) и (O2, R2) неконцентрические, то их радикальная ось существует и является прямой линией.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть точка M имеет равные степени относительно данных окружностей: O1M2 − R12 = O2M2 − R22, откуда O1M2 − −O2M2 = R12 −R22. Для определенности полагаем R1 >R2. Если R1 = R2, то O1M = O2M и поэтому искомое множество точек M есть серединный перпендикуляр к отрезку O1O2. При R1 > R2 построим отрезок a, для которого R12 − R22 = a2, и построим произвольный прямоугольный треугольник ABC с катетом BC = a, но такой, чтобы AB + AC > O1O2 (рис. 116, б). Тогда окружности (O1, AB) и (O2, AC) пересекаются и их

122

общие точки M и N принадлежат искомому множеству. Действительно,

O1M2 − O2M2 = AB2 − AC2 = BC2 = a2 = R12 − R22.

MB

Итак, искомое множество точек непусто. Докажем теперь, что это множество точек есть прямая линия, перпендикулярная линии O1O2 центров данных окружностей. Пусть M — фиксированная точка, а X — произвольная точка этого множества. Тогда O1M2 − O2M2 = O1X2 −

−O2X2 и поэтому O1M2 + O2X2 −O1X2 −O2M2 = 0. С другой стороны, согласно формуле (11.2) O1M2 + O2X2 − O1X2 − O2M2 = 2O1O2 · XM.

(рис. 117), то точки пересечения имеют равные (нулевые) степени относительно этих окружностей. Следовательно, их радикальная ось — прямая, содержащая эти точки.

Если данные окружности касаются внешним или внутренним образом, то их радикальная ось совпадает с общей касательной в точке касания окружностей (рис. 118).

Если окружности лежат одна вне другой, не ка-

саясь, то середина M их общей касательной имеет равные степени относительно их и потому принадлежит радикальной оси (рис. 119).

123

124

lся центрами окружностей, каждая из ко-

торых делится пополам обеими данными окружностями. Обратно, если две данные окружности делят пополам третью окружность, то ее центр ле-

жит на радикальной оси этих окружностей.

Действительно, пусть точка A принадлежит радикальной оси l окружностей a1 и a2 и лежит внутри каждой из них (рис. 123). Равенство степеней точки A относительно окружностей означает равенство полухорд этих окружностей, содержащих точку A и перпендикулярных соответственно O1A и O2A (п.16.1). Поэтому окружность (A, r), где r — длина указанных полухорд, делится пополам каждой из окружностей a1

иa2. Доказательство обратного утверждения также просто.

16.4.Радикальный центр трех окружностей. Это понятие основано на следующей теореме.

Теорема. Если центры трех окружностей неколлинеарны, то три радикальные оси этих окружностей, взятых попарно, имеют общую точку.

В самом деле, пусть радикальная ось a окружностей a и g и радикальная ось b окружностей b и g пересекаются в точке P (рис. 124). Тогда точка P имеет равные степени отно-

окружностей рассмотрено в п. 16.2 вместе с доказательством теоремы о радикальной оси. Введение понятия ра-

дикального центра трех окружностей позволяет значительно упростить

125

построение радикальной оси в случае, когда эти окружности не пересекаются, что выполнено на рис. 124 для окружностей a и b. Этот способ остается в силе и в случае, когда одна из окружностей a и b лежит внутри другой.

Упражнения

16.1.Постройте окружность, ортогональную к трем данным окруж-

ностям.

16.2.На данной окружности найдите точку, чтобы касательные из нее к другой данной окружности были равны отрезку от искомой точки до данной точки A.

16.3.Постройте окружность, касательные к которой, проведенные из данных точек A, B, C, были бы равны соответственно трем данным отрезкам a, b, c.

16.4.Постройте окружность, проходящую через две данные точки A

иB и ортогональную данной окружности a.

16.5.Постройте окружность данного радиуса, ортогональную двум данным окружностям.

16.6.Через две данные точки A и B проведите окружность, делящуюся данной окружностью a пополам.

16.7.Через две данные точки A и B проведите окружность, которая делила бы данную окружность пополам.

16.8.Постройте окружность, которая делилась бы пополам каждой из трех данных окружностей. При каких условиях она существует?

16.9.На сторонах BC, CA, AB остроугольного треугольника ABC взяты соответственно три произвольные точки A1, B1, C1. Докажите, что три общие хорды пар окружностей с диаметрами AA1, BB1, CC1 пересекаются в ортоцентре треугольника ABC.

§17. Пучки окружностей

17.1.Определение пучка окружностей. Виды пучков. Предварительно убедимся в истинности такого утверждения.

Если прямая l является радикальной осью окружностей a и b и является радикальной осью окружностей b и g, то она есть также

ирадикальная ось окружностей a и g и центры этих трех окружностей коллинеарны.

Действительно, по определению радикальной оси и условию доказываемого утверждения произвольная точка P прямой l имеет равные степени относительно окружностей a и b и равные степени относительно

126

окружностей b и g и, значит, равные степени относительно окружностей a и g. Поэтому точка P принадлежит радикальной оси окружностей a и g. Поскольку P — любая точка прямой l, то l — радикальная ось окружностей a и g. Каждая из трех прямых, содержащих центры двух окружностей, перпендикулярна l. Следовательно, эти три прямые совпадают, т. е. центры окружностей a, b, g коллинеарны.

Важным примером множества окружностей, каждые две из которых имеют одну и ту же радикальную ось, является множество всех окружностей, имеющих две общие точки A и B. Тогда прямая AB и есть радикальная ось каждых двух окружностей из этого множества (рис. 125). Как увидим далее, этот пример не является единственным.

О п р е д е л е н и е. Множество всех окружностей, каждые две из которых имеют одну и ту же радикальную ось l, называется пучком окружностей. Прямая l называется радикальной осью этого пучка.

Центры всех окружностей пучка лежат на одной прямой, перпендикулярной его радикальной оси.

Рассмотрим три возможных случая, приводящих к классификации пучков окружностей.

1)Пусть какие-либо две окружности пучка пересекаются в точках A

иB. Тогда эти точки принадлежат их радикальной оси и должны иметь равные (нулевые) степени относительно каждой окружности пучка. Следовательно, любая окружность пучка проходит через эти точки. Таким образом, пучок состоит из окружностей, имеющих две общие точки. Такой пучок называется пучком пересекающихся окружностей,

или эллиптическим пучком окружностей (рис. 125).

2) Пусть какие-либо две окружности пуч-

A

ка касаются в точке A (внутренним или внешним образом). Тогда их радикальная ось l

lесть общая касательная к ним в точке A. Любая третья окружность пучка по определе-

Итак, пучок состоит из всех окружностей, попарно касающихся в общей точке. Такой пучок называется параболическим пучком окружностей (рис. 126).

3) Пусть какие-либо две окружности пучка не имеют общих точек. Тогда и любые две окружности этого пучка не будут иметь общих точек,

127

го пучка.

К р и т е р и й 2. Множество всех окружностей, ортогональных двум данным окружностям, есть пучок окружностей.

Действительно, центры всех окружностей заданного множества принадлежат радикальной оси двух данных окружностей. На основании критерия 1 это множество окружностей есть пучок окружностей.

128

Из определения пучка окружностей и его критериев вытекают способы задания пучка окружностей:

1)двумя принадлежащими ему окружностями,

2)окружностью этого пучка и его радикальной осью,

3)линией центров окружностей пучка и одной ортогональной им окружностью,

4)двумя окружностями, ортогональными окружностям пучка.

17.3. Ортогональные пучки окружностей. Из следствия и кри-

терия 2 предыдущего пункта следует, что существует бесконечное

129

Общие точки I1 и I2 окружностей эллиптического пучка называются предельными точками ортогонального ему гиперболического пучка.

17.4. Задание окружности данного пучка. Если задан пучок окружностей, то некоторую его окружность можно выделить из пучка заданием одной ее точки, так как имеет место теорема.

Теорема. Через каждую точку плоскости, не принадлежащую радикальной оси пучка окружностей, проходит одна и только одна окружность этого пучка.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для эллиптического и параболического пучков теорема очевидна (рис. 125 и 126). В первом пучке эта окружность определяется тремя неколлинеарными точками, а во втором — двумя точками и касательной в одной из них. Рассмотрим гиперболический пучок окружностей.

Пусть он задан непересекающимися окружностями a1 и a2 (рис.131) и дана точка M, не принадлежащая радикальной оси l этих окружностей. Построим произвольную окружность w, ортогональную окружностям a1 и a2. Она принадлежит сопряженному пучку окружностей, который является эллиптическим. Поэтому легко строится окружность b этого пучка, содержащая заданную точку M (она описана около треугольника I1I2M). Теперь осталось построить искомую окружность x, которая проходит через M и ортогональна b. Касательная к b в точке M пересекает прямую O1O2 в центре X этой окружности.

130