Элементарная математика / Ponarin-I

x2 = a(a − x), или x2 + ax − a2 = 0,

r√

зок AP = a2 , то получим искомый отрезок BP = x, а затем и точку S, делящую отрезок BC = a в «золотом отношении»

известно, как, скажем, число p (отношение длины окружности к ее диаметру), но оно выражает фундаментальное отношение, возникающее в

21

основаниях A1C1 : A1D1 = Q1B1 . Но по теореме о пропорциональных

C1B1 D1B1 P1B1

отрезках на параллельных прямых QB = Q1B1 .

P B P1B1

О п р е д е л е н и е. Отношение AC : AD называется двойным (слож-

CB DB

ным) отношением четырех точек A, B, C, D прямой.

22

Доказанный результат можно сформулировать кратко: двойное отношение четырех точек прямой не изменяется при центральном проектировании прямой на прямую.

Сохранение двойного отношения четырех точек прямой при параллельном проектировании прямой на прямую очевидно на основании теоремы пункта 2.2.

Упражнения

2.1.Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме п. 2.3.

2.2.В окружности проведен диаметр AB. Через точку A и произвольную точку M этой окружности проведена прямая, пересекающая в точке N касательную к окружности в точке B. Докажите, что произведение AM · AN не зависит от выбора точки M на окружности.

2.3.Две окружности касаются внешним образом. Докажите, что отрезок общей внешней касательной к ним, соединяющий точки ее касания, есть среднее геометрическое диаметров окружностей.

2.4.Докажите, что касательная к окружности, описанной около неравнобедренного треугольника, в его вершине делит противоположную сторону внешним образом в отношении квадратов прилежащих сторон.

2.5.Докажите, что касательная к окружности, описанной около неравнобедренного треугольника, в его вершине пересекает продолжение противоположной стороны в середине отрезка, концы которого совпадают с основаниями биссектрис внутреннего и внешнего углов при этой вершине.

2.6.В треугольнике ABC угол C вдвое больше угла B. Найдите длину стороны AB и длину биссектрисы угла C, если BC = a и AC = b.

2.7.Около треугольника ABC описана окружность, и к ней проведена касательная в точке A, пересекающая луч BC в точке D. Найдите длины AD и CD, если известны длины a, b, c сторон треугольника ABC.

2.8.Дан четырехугольник ABCD. Прямая, проведенная через вершину A параллельно BC, пересекает BD в точке M. Прямая, проведенная через вершину B параллельно AD, пересекает AC в точке N. Докажите, что MN и CD параллельны.

2.9.Три окружности имеют две общие точки. Через одну из них проведена секущая, пересекающая эти окружности вторично в трех точках. Докажите, что отношение этих трех точек не зависит от выбора секу-

щей. (Отношением трех точек A, D, C прямой называется число AB .)

CD

2.10. Дана окружность w и точки P и K вне ее. Через точку P проведена секущая к окружности w, пересекающая ее в точках A и B.

23

Докажите, что вторая точка пересечения прямой P K с окружностью, проходящей через точки K, A, B, не зависит от выбора секущей AB.

2.11. В угол вписаны две окружности, одна из которых касается сторон угла в точках M и N, а другая — в точках P и Q. Докажите, что на прямой MQ эти окружности отсекают равные хорды.

2.12.Докажите, что расстояние от точки окружности до хорды этой окружности есть среднее геометрическое расстояний концов хорды до касательной к окружности в этой точке.

2.13.Докажите, что диагонали правильного пятиугольника делятся точкой их пересечения в золотом отношении.

2.14.Найдите отношение стороны правильного пятиугольника к радиусу описанной около него окружности.

2.15.В окружности с центром O проведены два перпендикуляр-

ных диаметра AB и CD. Точка E — середина радиуса OA. На луче EB отложен отрезок EK, равный отрезку CE. Докажите, что отрезок KC равен стороне правильного пятиугольника, вписанного в данную окружность.

2.16. Те о р е м а В а н — О б е л я. Если прямые AP , BP , CP пересекают соответственно прямые BC, CA, AB, содержащие стороны треугольника ABC, соответственно в точках A1, B1, C1, то имеет место равенство:

AC1 + AB1 = AP .

C1B B1C P A1

2.17.Постройте окружность, проходящую через две данные точки и касающуюся заданной прямой.

2.18.Постройте прямую, параллельную основаниям трапеции, которая делит эту трапецию на две подобные трапеции.

2.19.Постройте квадрат, одна сторона которого служит хордой данной окружности, а противоположная ей сторона принадлежит касательной к этой окружности. Найдите отношение стороны квадрата к радиусу окружности.

2.20.В прямоугольном треугольнике ABC опущена высота CD на гипотенузу AB. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники ACD

иBCD, равны r1 и r2. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

2.21.В треугольнике ABC проведена высота BK и медиана BM, причем AM = BM. Найдите косинус угла KBM, если AB = 1, BC = 2.

2.22.Через точку S, лежащую вне окружности с центром O, проведены две касательные, касающиеся окружности в точках A и B, и секущая, пересекающая окружность в точках M и N. Прямые AB и SO

24

пересекаются в точке K. Докажите, что точки M, N, K, O лежат на одной окружности.

2.23.В окружность вписан четырехугольник ABCD такой, что касательные к окружности в вершинах A и C пересекаются на прямой BD. Докажите, что касательные в вершинах B и D пересекаются на прямой AC, биссектрисы углов A и C пересекаются на прямой BD, биссектрисы углов B и D пересекаются на прямой AC. Докажите, что этим же свойством обладают биссектрисы внешних углов при противоположных вершинах четырехугольника.

§3. Основные метрические соотношения

втреугольнике

3.1.Теорема синусов традиционно выводится из равенства трех выражений площади треугольника. Однако ее можно получить совсем просто и в ее полном содержании без использования формулы площади.

Проведем радиус OD окружности, описанной около данного треугольника ABC, перпендикулярный к стороне BC (рис.21). Тогда углы BAC и BOD равны, так как оба измеряются половиной дуги BC. Точка E пересечения BC и OD — середина BC. Поэтому из прямоугольного

сторона треугольника равна диаметру описанной около него окружности, умноженному на синус угла, противолежащего этой стороне.

В доказательствах некоторых соотношений при выполнении тождественных преобразований теорему синусов можно использовать в виде:

З а д а ч а. Доказать, что расстояние между основаниями перпендикуляров, проведенных к двум сторонам треугольника из основания высоты, опущенной на третью сторону, не зависит от выбора высоты.

25

Р е ш е н и е. Пусть CD — высота треугольника ABC, DP и DQ — перпендикуляры к AC и BC (рис. 22). Из точек P и Q отрезок CD виден под прямыми углами. Поэтому эти точки принадлежат окружности с диаметром CD. По теореме синусов P Q =

C= CD sin ACB. Но поскольку CD = AB2S , где S — площадь треугольника ABC, то

Рис. 23

Эти соотношения носят название формул проекций для треугольника. Их векторный вывод не требует отдельного рассмотрения указанных трех случаев. Возьмем векторное равенство BC = BA + AC и умножим

26

его скалярно на вектор BC: BC2 = BA · BC + AC · BC. А это эквивалентно равенству a2 = ca cos B + ba cos C, или

a = b cos C + c cos B.

Из формул (3.3) вытекают важные следствия. Поскольку косинус не больше единицы, то при отбрасывании косинусов в формулах (3.3) получаем неравенства:

называемые неравенствами треугольника.

Далее, умножив соотношения (3.3) соответственно на a, b, c и сло-

т. е. получили теорему косинусов для треугольника.

Поскольку ab cos C = CA · CB, то теорема косинусов может быть

Из формул проекций выводится также зависимость между косинусами углов треугольника. Равенства (3.3) будем рассматривать как линейную однородную систему уравнений относительно a, b, c:

−a + b cos C + c cos B = 0,

a cos C − b + c cos A = 0,

a cos B + b cos A − c = 0.

Эта система заведомо имеет ненулевое решение (a, b, c), что возможно тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю:

cos B cos A −1

Это и есть искомая зависимость. Раскрывая определитель, получим

Для читателя, не знакомого с методом решения линейных систем с помощью определителей, приведем другой вывод тождества (3.8)

27

путем прямого исключения длин a, b, c сторон треугольника из системы (3.3). Подставим в первую и вторую формулы (3.3) выражение c = a cos B + b cos A и полученные два равенства запишем так:

a(1 − cos2 B) = b(cos C + cos A cos B), b(1 − cos2 A) = a(cos C + cos A cos B).

Почленным умножением получаем:

(1 − cos2 A)(1 − cos2 B) = (cos C + cos A cos B)2,

что эквивалентно (3.8).

3.3. Некоторые формулы площади треугольника. В школьных учебных пособиях доказываются следующие формулы площади треугольника:

где r и R — радиусы соответственно его вписанной и описанной окружностей, а p = 12 (a + b + c) — полупериметр треугольника.

Для успешного решения задач полезно знать и другие формулы площади треугольника. Докажем еще пять формул.

1) Исходя из формулы S = 12 ab sin C, выразим площадь треугольника

через длины его сторон. По теореме косинусов cos C = a2 + b2 − c2 . Нахо-

2ab

дим 4S2 = a2b2 sin2 C = a2b2(1 −cos2 C) = a2b2 1 − (a2 + b2 − c2)2 , откуда

4a2b2

16S2 = 4a2b2 − (a2 + b2 − c2)2 = (2ab + a2 + b2 − c2)(2ab − a2 − b2 + c2) = = ((a + b)2 −c2)(c2 −(a −b)2) = (a + b + c)(a + b − c)(a − b + c)(−a + b + c).

Эту формулу называют формулой Ге р о н а, хотя она была получена гораздо раньше А р х и м е д о м.

2) Соединим центр O описанной около треугольника ABC окружности с его вершинами. Если треугольник ABC остроугольный, то точка O лежит внутри него. Очевидно, углы BOC, COA, AOB равны соответственно удвоенным углам треугольника ABC. Тогда

SABC = SBOC + SCOA + SAOB = 12 R2 sin 2A + 12 R2 sin 2B + 12 R2 sin 2C.

28

Итак,

Если же, скажем, угол A треугольника тупой, то площадь треугольника BOC следует вычесть, что и выполняет формула (3.10), так как тогда sin 2A < 0.

3) При том же построении высота треугольника BOC, опущенная на сторону BC, равна R cos A (рис.21). Значит, S = 12 aR cos A и поэтому

Эта формула имеет место для треугольника любого типа.

4)Обозначим длины отрезков сторон треугольника от вершин A, B

иC до точек касания с вписанной в треугольник окружностью через x,

y и z соответственно. Тогда a = y + z, b = x + z, c = x + y (рис. 24) и 2p = a + b + c = 2(x + y + z). Отсюда имеем:

rмоугольного треугольника AIB1 получа-

Рис. 24

5) Далее, замечая, что p − a = r ctg A2 , на основании формулы (3.9)

имеем: S2 = p(p−a)(p−b)(p−c) = pr(p−b)(p−c) ctg A2 . Поскольку pr = S, то при сокращении этого равенства на S получаем:

3.4. Зависимость между косинусами углов треугольника и радиусами его вписанной и описанной окружностей. Используя формулы (3.3) проекций, находим:

2p = a + b + c = (b + c) cos A + (c + a) cos B + (a + b) cos C =

= 2p(cos A + cos B + cos C) − (a cos A + b cos B + c cos C).

29

Следствие. Сумма d1 + d2 + d3 ориентированных расстояний от центра описанной около треугольника окружности до его сторон равна сумме R + r радиусов его описанной и вписанной окружностей

(т е о р е м а К а р н о).

В самом деле, соотношение (3.15) можно написать так:

R cos A + R cos B + R cos C = R + r.

Поскольку R cos A = d1, R cos B = d2, R cos C = d3, то

d1 + d2 + d3 = R + r.

Примечание. Если дан треугольник ABC и точка M, не принадлежащая прямой AB, то ориентированное расстояние от точки M до прямой AB считается положительным, если точки M и C лежат по одну сторону от прямой AB, и отрицательным, если эти точки находятся по разные стороны от прямой AB.

3.5. Длина биссектрисы треугольника. Выведем две формулы длины биссектрисы треугольника.

Пусть биссектриса угла C треугольника ABC пересекает сторону AB в точке D. Так как площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников ACD и BCD, то имеем равенство:

12 blc sin C2 + 12 alc sin C2 = 12 ab sin C,

откуда

Выражение lc через длины a, b и c сторон треугольника ABC найдем векторным методом. Напомним, что для любой точки O из того, что

AB в данном отношении l). Для доказательства этой эквивалентности достаточно учесть, что AM = OM − OA и MB = OB − OM.

30