Элементарная математика / Ponarin-I

Пусть CD — биссектриса треугольника ABC. На основании п. 2.4

AD = b и поэтому

DB a

З а д а ч а. Доказать, что если две биссектрисы треугольника равны, то он равнобедренный (теорема Ш т е й н е р а—Л е м у с а).

Эта задача была послана в 1840 году великому швейцарскому геометру Якобу Штейнеру С. Л. Лемусом с просьбой дать чисто геометрическое ее решение. Доказательство Штейнера было очень сложным и побудило других математиков искать более простое. Задача активно решалась более 20 лет. Некоторые математики обращались к решению этой задачи и в XX веке.

Алгебраическое решение по формуле (3.17) достаточно просто. Так как по условию la = lb, то

что эквивалентно равенству

b(a + c)2(b + c − a) = a(b + c)2(c + a − b).

31

Произведя умножение и надлежащую группировку слагаемых, получим:

(a3b − ab3) + 3abc(a − b) + c2(a2 − b2) + c3(a − b) = 0

и далее (a − b)(a2b + ab2 + ac2 + bc2 + c3 + 3abc) = 0.

Числа a, b и c положительны, поэтому сумма во вторых скобках положительна. Следовательно, a − b = 0, a = b.

Упражнения

3.1.Докажите, что для прямоугольного треугольника с катетами a

иb и гипотенузой с имеет место равенство:

r = 12 (a + b − c).

3.2.Докажите, что высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна сумме радиусов окружностей, вписанных в данный треугольник и в треугольники, на которые его делит эта высота.

3.3.Докажите, что площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин отрезков, на которые делит его гипотенузу точка касания вписанной окружности.

3.4.Дан квадрат со стороной a. Через его центр, вершину и середину стороны, не содержащей эту вершину, проведена окружность. Найдите

еерадиус.

3.5.Если p и q — радиусы окружностей, проходящих через вершину A треугольника ABC и касающихся прямой BC в точках B и C, то pq = R2. Докажите.

3.6.Докажите, что для любого треугольника имеет место тождество:

a(sin B − sin C) + b(sin C − sin A) + c(sin A − sin B) = 0.

3.7.Если диагонали вписанного четырехугольника перпендикулярны, то сумма квадратов его противоположных сторон равна квадрату диаметра описанной окружности. Докажите.

3.8.Постройте треугольник по двум сторонам, если медиана, проведенная к третьей стороне, делит угол треугольника в отношении 1 : 2.

3.9.Через вершину A треугольника ABC внутри него проведены две прямые, образующие равные углы со сторонами AB и AC и пересекающие сторону BC в точках M и N. Докажите, что

BM · BN = AB2

CM CN AC2

(теорема Ш т е й н е р а).

32

3.10. Докажите, что расстояние между основаниями перпендикуляров, проведенных из какой-либо вершины вписанного в окружность четырехугольника к двум его сторонам, не зависит от выбора вершины.

Докажите следующие формулы площади треугольника (3.11—3.20).

3.11.S = 1 c2 sin A sin B . 2 sin C

3.12.S = 2R2 sin A sin B sin C.

3.13.S = 14 (a2 sin 2B + b2 sin 2A).

3.14.S = p2 tg A2 tg B2 tg C2 .

3.15.S = Rr(sin A + sin B + sin C).

3.16.S = 4Rr cos A2 cos B2 cos C2 .

3.17.S2 = abcp sin A2 sin B2 sin C2 .

p2

3.18. S = ctg(A/2) + ctg(B/2) + ctg(C/2) .

3.19. 4S2 = CA2 · CB2 − (CA · CB)2.

3.20. 16S2 = a2(b2 + c2 − a2) + b2(c2 + a2 − b2) + c2(a2 + b2 − c2).

3.21. Докажите, что в любом треугольнике ABC

r = 4R sin A2 sin B2 sin C2 .

3.22. На стороне AB треугольника ABC в одной полуплоскости с ним построен правильный треугольник ABC1. Докажите, что

CC12 = 12 (a2 + b2 + c2) − 2S√3,

где a, b и c — длины сторон треугольника ABC, S — его площадь. Докажите следующие соотношения для произвольного треугольника

ABC (3.23—3.25).

3.23.a2 = b2 + c2 − 4S ctg A.

3.24.a2 = (b + c)2 − 4S ctg A2 .

3.25.a2 = (b − c)2 + 4S tg A2 .

3.26.Углы треугольника ABC связаны условием:

cos2 A + cos2 B + cos2 C = 1.

Определите его вид.

3.27.Окружность радиуса R проходит через вершины A и B треугольника ABC и касается прямой AC в точке A. Найдите площадь треугольника ABC, если BAC = a и ABC = b.

3.28.Докажите, что в треугольнике ABC ортогональная проекция

33

3.29. В треугольник ABC вписана окружность радиуса r. Найдите длины сторон треугольника с вершинами в точках касания, если углы треугольника ABC равны a, b и g. Докажите, что площадь этого тре-

угольника равна pr2 .

2R

3.30. Докажите, что для любого треугольника выполняется соотношение:

a2 + b2 + c2 = 2p2 − 2r2 − 8Rr.

3.31. Найдите отношение произведения биссектрис острых углов прямоугольного треугольника к произведению радиусов его описанной

ивписанной окружностей.

§4. Четыре замечательные точки треугольника

Вгеометрии треугольника важную роль играют его четыре замечательные точки: точка пересечения медиан — центроид, центры вписанной и описанной окружностей, точка пересечения высот — ортоцентр. Рассмотрим подробнее их свойства.

4.1. Центроид треугольника. Его существование и основное свойство основано на следующей теореме о пересечении медиан треугольника.

Теорема. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке G, которая делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от

34

35

4.2. Центр вписанной в треугольник окружности. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке I, которая равноудалена от трех сторон треугольника и потому является центром вписанной в треугольник окружности. Доказательство имеется в школьных учебниках.

В каких отношениях делятся биссектрисы треугольника точкой I их пересечения? Решим эту задачу.

Пусть биссектрисы треугольника ABC пересекают его стороны AB,

BC и CA соответственно в точках C1, A1 и B1. Тогда BA1 : A1C = cb (п.2.4) и BA1 + A1C = a, откуда BA1 = bac+ c и A1C = bab+ c. Так как CI — биссектриса треугольника AA1C, то

Далее, фиксируем некоторую точку O в качестве начала векторов (рис. 29) и выразим вектор OI центра вписанной окружности через векторы OA, OB, OC вершин треугольника и

Cдлины его сторон:

Следствие. Точка I является точкой пересечения биссектрис тогда и только тогда, когда

4.3. Ортоцентр треугольника. Существование этой замечательной точки утверждается теоремой о пересечении высот треугольника.

Теорема. Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке (она называется ортоцентром треугольника).

Рассмотрим три доказательства этой теоремы.

37

OH − OA − OB − OC = 0.

4.4. Связь между четырьмя замечательными точками треугольника.

Если O — центр описанной около треугольника ABC окружности, то

39

равенства (4.1) и (4.7) выполняются совместно, а из них следует:

OH = 3OG.

Это значит, что точки O, G, H лежат на одной прямой, причем центроид G делит отрезок OH в отношении 1 : 2. Прямая, содержащая эти точки, называется п р я м о й Э й л е р а треугольника (рис. 33).

Расстояние между центрами O и I описанной и вписанной окружностей и радиусы R и r этих окружностей связаны замечательной формулой:

называемой ф о р м ул о й Э й л е р а. Вот два доказательства этой формулы.

P

C

ABC пересекает описанную около него окружность в точке D (рис.34). Проведем диаметр DP этой окружности и перпендикуляр IK из центра I вписанной окружности на сторону AC. Тогда IK = r, DP = 2R. Пусть прямая OI пересекает окружность в точках M и N. По теореме о секущих (п. 2.5)

CI · ID = IM · IN = (R + d)(R − d) = R2 − d2,

где d = OI. Это же произведение CI · ID вычислим иначе. Из подобия прямоугольных треугольников P AD и CKI (по равным острым

углам при вершинах P и C) имеем CI2R = ADr . Но AD = ID (задача 1.8). Поэтому CI · ID = 2Rr. Следовательно, R2 − d2 = 2Rr, что совпадает

с(4.8).

До к а з а т е л ь с т в о 2. Обращаясь к равенству (4.4), будем теперь полагать, что точка O — центр описанной окружности. Тогда находим

40