Элементарная математика / Ponarin-I

4. Из (12.5) видно, что S2 максимальна тогда и только тогда, когда

cos A + C = 0, т. е. когда A + C = 180◦.

2

Итак, четырехугольник с данными сторонами имеет максимальную площадь в том и только в том случае, когда он вписан в окружность. Такой четырехугольник всегда можно построить (задача 7.24).

5. Если четырехугольник ABCD описан около окружности, то a + c = b + d и поэтому b2 + d2 − a2 − c2 = 2(bd − ac). Формула (12.4) принимает вид

6. Если четырехугольник является одновременно вписанным и описанным, то каждая из формул (12.7) и (12.9) преобразуется к виду:

SEFK = SEFP + SEPK + SFPK.

Рис. 85

Так как треугольники EP K и EP B

равновелики и треугольники F P K и F P C равновелики, то треугольник EF K равновелик четырехугольнику EF CB. Диагонали этого четырехугольника — половины диагоналей данного четырехугольника

91

Упражнения

12.1.Докажите, что площадь четырехугольника равна произведению его средних линий и синуса угла между ними.

12.2.Две противоположные вершины четырехугольника перенесены на некоторый вектор. Докажите, что полученный четырехугольник равновелик данному.

12.3.Внутри выпуклого четырехугольника с данной площадью S взята точка и построены точки, симметричные ей относительно середин всех сторон данного четырехугольника. Найдите площадь четырехугольника с вершинами в этих точках.

12.4.Средние линии четырехугольника разделяют его на четыре четырехугольника. Докажите, что суммы площадей несмежных четырехугольников равны.

12.5.Если только одна из средних линий четырехугольника делит его на две части равной площади, то этот четырехугольник есть трапеция. Докажите.

12.6.Для любого (простого) четырехугольника ABCD

4S2 = AC2 · BD2 − (AC · BD)2.

12.7.В окружность с центром O вписан четырехугольник ABCD, диагонали которого перпендикулярны. Докажите, что четырехугольники ABCO и AOCD равновелики.

12.8.Прямая, проходящая через середины E и F диагоналей AC и BD четырехугольника ABCD, пересекает стороны AB и CD в точках K

иL. Докажите, что треугольники ABL и CDK равновелики.

12.9.Два непересекающихся отрезка делят каждую из двух противоположных сторон выпуклого четырехугольника на три равные части. Докажите, что площадь четырехугольника, отсекаемого ими от данного четырехугольника, равна третьей части его площади.

12.10.Середины M и N сторон AB и CD выпуклого четырехугольника ABCD соединены с вершинами отрезками MC, MD, AN, BN. Докажите, что площадь четырехугольника, заключенного между этими отрезками, равна сумме площадей треугольников, прилегающих к сторонам AD и BC.

12.11.Прямая, проходящая через середину диагонали BD четырехугольника ABCD параллельно диагонали AC, пересекает сторону AD в точке T . Докажите, что прямая CT делит четырехугольник ABCD на две части равной площади.

12.12.Через середину каждой диагонали выпуклого четырехугольника проведена прямая параллельно другой диагонали. Точка пересечения этих прямых соединена с серединами сторон четырехугольника.

93

Докажите, что эти четыре отрезка делят четырехугольник на четыре равновеликие части.

12.13. Докажите, что площадь четырехугольника можно вычислить по формуле:

4S2 = (ab)2 + (cd)2 − 14 (a2 + b2 − c2 − d2)2 − 2abcd cos(B + D).

12.14. Четырехугольник ABCD вписан в окружность радиуса R. Докажите, что

16S2R2 = (ab + cd)(bc + ad)(ac + bd).

12.15.Докажите, что площадь треугольника, две стороны которого равны и параллельны противоположным сторонам выпуклого четырехугольника, равна разности площадей треугольников, которые отсекаются от двух вертикальных углов между диагоналями двумя другими противоположными сторонами. Как изменится эта зависимость для невыпуклого четырехугольника?

12.16.Докажите, что площадь параллелограмма, вершинами которого являются середины диагоналей и середины двух противоположных сторон выпуклого четырехугольника, равна полуразности площадей двух треугольников, отсекаемых от двух вертикальных углов между диагоналями этими противоположными сторонами.

12.17.Если E и F — середины диагоналей AC и BD выпуклого четырехугольника ABCD и точка пересечения диагоналей лежит между E

иC и между F и D, то четырехугольники CDEF , ADEF и CBEF равновелики, четырехугольники ABED и CBED равновелики. Докажите.

12.18.Докажите неравенства для выпуклого четырехугольника

2S 6 ab + cd, 2S 6 ac + bd.

В каком случае имеет место равенство в каждом из них? Выполняются ли эти неравенства для невыпуклого четырехугольника?

§13. Геометрические неравенства

Для геометрических величин фигур существует необозримое число неравенств, не поддающихся какой-либо их классификации. Сделаем попытку систематизации методов их доказательств.

13.1. Использование неравенств между сторонами и углами треугольника. В школьном курсе геометрии доказывается, что для любых трех точек A, B и C имеет место неравенство:

94

O

AC + BD > AB + CD,

AB + CD < (AO + OC) + (BO + OD) = AC + BD.

П р и м е р 2. Сумма расстояний от точки O, лежащей внутри треугольника ABC, до его вершин больше его полупериметра:

Всамом деле, так как AB < AO + OB, BC < BO + OC, CA < CO +

+OA, то AB + BC + CA < 2(OA + OB + OC), что эквивалентно (13.3).

Пр и м е р 3. Во всяком треугольнике ABC

Cдлина mc медианы CM удовлетворяет нера-

П р и м е р 4. В любом треугольнике ABC сумма синусов двух углов больше синуса его третьего угла:

95

В самом деле, согласно теореме синусов a = 2R sin A, b = 2R sin B, c = 2R sin C. Поэтому неравенство a + b > c эквивалентно неравенству (13.5).

Поскольку sin C = sin(A + B), то (13.5) эквивалентно неравенству:

В частности, sin 1◦ + sin 2◦ > sin 177◦ = sin 3◦.

Во многих случаях при доказательствах неравенств базовыми служат три следующих неравенства:

1)во всяком треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно;

2)внешний угол треугольника больше каждого его внутреннего угла, не смежного с этим внешним;

3)если две стороны одного треугольника равны соответственно двум сторонам другого треугольника, а углы между этими сторонами не равны, то против большей стороны лежит больший угол, и обратно.

П р и м е р 5. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с произвольной точкой его противоположной стороны, меньше большей из

96

цательна (или неположительна). Этот факт служит источником неравенств.

П р и м е р 1. Имеем формулу (4.8) Эйлера OI2 = R2 − 2Rr. Так как OI2 > 0, то R2 − 2Rr > 0, откуда

где равенство имеет место лишь при совпадении точек O и I, т. е. для правильного треугольника. Итак, в любом треугольнике радиус описанной окружности не меньше диаметра вписанной в него окружности.

П р и м е р 2. Рассмотрим соотношение (3.15) для произвольного треугольника ABC:

cos A + cos B + cos C = 1 + Rr .

Поскольку 0 < r/R 6 1/2 (13.8), то предыдущее равенство приводит к неравенству:

П р и м е р 3. Для любого треугольника ABC имеем соотношение (упр. 4.13):

OH2 = 9R2 − (a2 + b2 + c2).

причем равенство имеет место лишь для правильного треугольника. П р и м е р 4. Используя зависимость (упр. 3.22)

CC12 = 12 (a2 + b2 + c2) − 2S√3,

получаем неравенство

между длинами сторон и площадью произвольного треугольника. Равенство имеет место только при совпадении точек C и C1, т. е. для правильного треугольника ABC.

П р и м е р 5. Третья из формул (11.5) порождает неравенство

для сторон и диагоналей произвольного четырехугольника, где знак равенства имеет место лишь для параллелограмма.

97

В самом деле, так как S = 12 ab sin C, то S 6 12 ab и аналогично S 6 12 bc,

S 6 12 ca, причем равенство может выполняться лишь в одном из этих трех неравенств. Их сложением получаем строгое неравенство (13.15).

П р и м е р 4. Площадь S треугольника ABC можно вычислить по формуле (упр. 3.13)

S = 14 (a2 sin 2B + b2 sin 2A),

откуда

Знак равенства имеет место лишь для треугольника, в котором углы при вершинах A и B равны 45◦.

13.4. Использование неравенств для скалярного произведения век-

¯

торов. Из определения скалярного произведения векторов a¯b = ab cos f векторов следует:

Последнее неравенство называется неравенством Коши—Буняковского.

¯

Здесь в первом неравенстве равенство имеет место лишь для a¯ = 0, а во втором — лишь для сонаправленных векторов. Используем эти неравенства для доказательства и получения геометрических неравенств.

П р и м е р 1. Докажем, что косинусы углов

CA (рис. 92). Неравенство (¯e1 + e¯2 + e¯3)2 > 0 эквивалентно неравенству (13.18). Действительно,

раскрывая скалярный квадрат суммы векторов и учитывая, что e¯21 = e¯22 = e¯23 = 1 и e¯1e¯2 = − cos B, e¯1e¯3 = − cos A, e¯2e¯3 = − cos C, получаем

3 − 2(cos A + cos B + cos C) > 0,

откуда и следует (13.18). Равенство имеет место лишь в случае, когда

99

Возьмем единичные векторы e¯1, e¯2, e¯3 с началом в центре O описанной около треугольника ABC окружности (рис.93), сонаправленные соответственно векторам OA, OB, OC. Так как угол между векторами e¯2 и e¯3 равен удвоенному углу A, то неравенство (¯e1 + e¯2 + e¯3)2 > 0 приводит к неравенству 3 + 2(cos 2A + cos 2B + cos 2C) > 0, что равносильно (13.19). Равенство выполняется лишь для правильного треугольника.

П р и м е р 3. На основании формулы (11.2)

Cи неравенства Коши—Буняковского имеем для произвольных точек A, B, C, D:

Равенство имеет место для трапеции ABDC с основаниями e и f, а также для четырех коллинеарных точек A, B, C,

D при AC BD.

Попутно доказано, что удвоенное произведение оснований трапеции равно разности между суммой квадратов ее диагоналей и суммой квадратов ее боковых сторон.

Равенство 2AC · BD = |AD2 + BC2 − AB2 − CD2| служит метрическим критерием параллельности отрезков AC и BD.

13.5. Применение алгебраических неравенств для средних величин двух положительных чисел. Для двух положительных чисел a и b или отрезков с длинами a и b определяются их средние величины:

причем во всех случаях знак равенства имеет место только при a = b.

100