Элементарная математика / Ponarin-I

Введение. Отображения и преобразования множеств

Под геометрической фигурой понимают некоторое множество точек. Множество точек можно задать его характеристическим (определяющим) свойством или же графически. Множество, заданное характеристическим свойством его точек, по традиции называют также геометрическим местом точек (ГМТ), обладающих данным свойством.

Важным разделом геометрии как науки и темой школьного курса геометрии являются отображения и преобразования фигур. Родовым понятием для отображения является понятие соответствия между множествами. Строгое определение соответствия здесь не приводим, ограничиваясь тем, что о нем сказано в школьных учебниках.

1◦. Частным видом соответствия является отображение. Отображением f множества X в множество Y называется соответствие, при ко-

y Y . Употребляется запись: f : X →Y, y = f(x), a также X →Y , x →y. Элемент y называется образом элемента x, а элемент x — прообразом элемента y при отображении f множества X в множество Y . В геометрии образ элемента x обычно принято обозначать через x0 : f(x) = x0. Множество X0 образов x0 всех элементов x множества X называется образом множества X при отображении f. Пишут: f(X) = X0. Ясно, что всегда X0 Y . Совпадение этих множеств X и Y не исключается.

2◦. Если f(X) = Y , то говорят, что множество X отображается на множество Y . Здесь вместо предлога «в» употребляется предлог «на». Употребление предлога «в», конечно, правомерно и в этом случае, но предлог «на» уточняет информацию: каждый элемент множества Y является образом хотя бы одного элемента из множества X.

3◦. Отображение f множества X на множество Y называется обратимым (взаимно однозначным), если образы любых двух различных элементов различны. В этом случае существует обратное отображение f−1 множества Y на множество X. Если f(x) = y и f(X) = Y , то f−1(y) = x и f−1(Y ) = X. Очевидно, отображения f и f−1 взаимно обратны, т. е. (f−1)−1 = f.

4◦. Если f(X) X, то говорят, что множество X отображается в себя. При f(X) = X говорят, что множество X отображается на себя.

5◦. Обратимое отображение множества на себя называется преобразованием этого множества. В школьном курсе геометрии рассматривают множество всех точек плоскости, множество всех точек пространства и говорят соответственно о преобразованиях плоскости, преобразова-

152

ниях пространства. Необходимым и достаточным признаком преобразования множества является одновременное выполнение двух условий: 1) каждый элемент множества имеет единственный образ в этом множестве, 2) каждый элемент этого множества имеет единственный прообраз в нем. Второе условие можно заменить двумя условиями: 2 а) образы любых двух различных элементов различны, 2 б) каждый элемент данного множества имеет некоторый прообраз в этом множестве.

6◦. Пусть f и g — два преобразования множества X и f(x) = y, g(y) = z для произвольного x X. Конечно, y X и z X. Определим отображение f законом f(x) = g(f(x)), или f(x) = z. На основании необходимого и достаточного признака преобразования отображение f является преобразованием множества X. Преобразование f называется композицией (произведением) преобразования f и преобразования g. Пишут: f = g ◦ f, или f = gf. Обратим внимание на то, что преобразование, выполняемое в композиции первым, записывается справа, так как по определению (g ◦ f)(x) = g(f(x)).

7◦. Два преобразования f1 и f2 одного и того же множества X называются равными (совпадающими), если для любого x X его образы f1(x) и f2(x) при этих преобразованиях совпадают: f1(x) = f2(x).

8◦. Композиция преобразований ассоциативна, т. е. для любых преобразований f, g, h данного множества имеет место соотношение:

h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть для любого x X f(x) = y, g(y) = z, h(z) = t. Тогда (g ◦ f)(x) = z, (h ◦ (g ◦ f))(x) = t. C другой стороны, (h ◦g)(y) = t, поэтому ((h ◦g) ◦f)(x) = t. Следовательно, (h ◦(g ◦f))(x) = = ((h ◦ g) ◦ f)(x) и в силу 7◦ h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f.

Композиция преобразований некоммутативна. В частных случаях, однако, композиции преобразований могут быть коммутативными. Например, коммутативна композиция любых двух переносов, двух поворотов с общим центром, композиция осевой симметрии и переноса в направлении оси этой симметрии. Однако некоммутативна композиция двух поворотов с разными центрами, композиция осевой симметрии и переноса не параллельно оси симметрии.

9◦. Преобразование E множества X называется тождественным преобразованием, если для любого x X имеет место E(x) = x. Поэтому для любого преобразования f будет E ◦ f = f ◦ E = f и f−1 ◦ f = f ◦ f−1 = E.

10◦. При любом преобразовании f пересечение множеств отображается на пересечение образов этих множеств:

f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B).

153

До к а з а т е л ь с т в о. Пусть x A и x B. Если f(x) = x0, то x0 f(A)

иx0 f(B), поэтому x0 f(A) ∩ f(B). Итак, образ любого элемента x

пересечения данных множеств принадлежит пересечению образов этих множеств при преобразовании f. Обратно, пусть y f(A) и y f(B). Тогда f−1(y) A и f−1(y) B, значит, f−1(y) A ∩ B. Следовательно, всякий элемент y пересечения образов множеств имеет своим прообразом некоторый элемент пересечения данных множеств.

11◦. При любом преобразовании f объединение множеств отображается на объединение их образов:

f(A B) = f(A) f(B).

Доказательство аналогично предыдущему.

12◦. Преобразование f множества называется инволютивным, или инволюцией, если оно совпадает со своим обратным, но отлично от тождественного, т.е. f = f−1 и f 6= E. Инволютивное преобразование меняет местами элемент x множества и его образ x0: если f(x) = x0, то f(x0) = x. Инволюция разбивает данное множество на пары соответственных элементов. Порядок элементов в каждой из таких пар несущественен. Примерами инволютивных преобразований служат центральная и осевая симметрии плоскости. Если преобразование f инволютивно, то в силу 9◦ f ◦ f = f2 = E.

Вшкольном курсе геометрии изучаются преобразования плоскости: центральная симметрия, осевая симметрия, перенос, поворот, гомотетия, преобразование подобия. Рассмотрим один бытовой пример преобразования.

Взале определенное число мест занято играющими так, что никто не остался без места и нет свободных мест. По сигналу играющие встают

ихаотически двигаются по залу. Затем по другому сигналу они садятся на первое попавшееся место. В результате множество играющих отобразилось на себя. Каждая пара «элемент множества — его образ» определяется местом: сидевший на нем до первого сигнала — севший на это место по второму сигналу. Это преобразование множества играющих.

Немаловажно заметить, что для преобразования не имеет никакого значения траектория движения, время, скорость и т. п. Важны лишь начальное и конечное положение элемента.

154

ет, что M1 лежит на прямой A1B1 (между A1 и B1). В случаях, когда A лежит между M и B или B лежит между A и M, аналогично доказывается, что образ M1 точки M прямой a принадлежит прямой A1B1. Необходимо еще доказать, что всякая точка прямой A1B1 имеет своим прообразом при движении f некоторую точку прямой a, т. е. множество образов всех точек прямой a есть прямая A1B1. А это действительно так, поскольку образ произвольной точки прямой A1B1 при движении f−1 принадлежит прямой AB, в чем убеждаемся повторением предыдущего рассуждения.

Следствие 1. Движение плоскости сохраняет отношение «лежать между» для трех точек прямой.

Действительно, при доказательстве теоремы показано, что если точка M лежит между A и B, то точка M1 лежит между A1 и B1.

Следствие 2. Движение плоскости отображает отрезок на отрезок.

Следствие 3. Образом луча при движении является луч.

Всамом деле, луч определяется через понятия прямой и «лежать между», которые инвариантны при движении. Поэтому луч прямой a отображается на определенный луч образа этой прямой.

Следствие 4. Образом полуплоскости при движении является полуплоскость.

Действительно, полуплоскость a с границей l, содержащая точку A / l, можно определить как множество точек M плоскости таких, что отрезки AM не пересекают l. В силу доказанной теоремы и следствий 2

и1 движением f полуплоскость a отображается на полуплоскость a0 с границей l0 = f(l) и содержащую точку A0 = f(A).

Следствие 5. Движение плоскости отображает угол на (равный ему) угол.

Всамом деле, угол, меньший развернутого, можно определить как

пересечение двух полуплоскостей, а угол, больший развернутого, — как объединение двух полуплоскостей. На основании следствия 4 и свойств 11◦ и 12◦ (см. введение) образом угла будет угол. Равенство этих углов имеет место по определению равных фигур.

Теорема. Движение отображает любые две параллельные прямые a и b на две параллельные прямые a0 и b0.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если бы прямые a0 и b0 пересекались в некоторой точке M0, то ее прообразом была бы такая точка M, которая принадлежала бы как прямой a, так и прямой b, что противоречит условию a k b.

Итак, основными инвариантами движений плоскости являются расстояния между точками, свойства фигур быть прямой, отрезком, лучом,

156

Bчто треугольник ABC ориентирован положитель-

Cно, если обход по контуру треугольника от вершины A к вершине B и затем к вершине C совершается

ориентированы противоположно. Можно доказать, что если треугольник ABC и его образ A0B0C0 при движении плоскости имеют одинаковую ориентацию, то одинаковую ориентацию имеют любой другой ориентированный треугольник и его образ при этом движении. Если же треугольники ABC и A0B0C0 ориентированы противоположно, то и любой другой ориентированный треугольник противоположно ориентирован со своим образом.

О п р е д е л е н и е. Движение плоскости, сохраняющее ориентацию треугольников, называется движением первого рода. Движение, изменяющее ориентацию треугольников на противоположную, называется

движением второго рода.

Для задания движения указанного рода достаточно задания двух пар соответственных точек. В самом деле, если заданы образы A0 и B0 точек A и B (A0B0 = AB) и известен род движения, то образ C0 третьей данной точки C однозначно определяется: для треугольника ABC строится равный ему треугольник нужной ориентации согласно указанному роду движения.

Итак, если точки A и B различны и точки A0 и B0 выбраны так, что A0B0 = AB, то существует одно и только одно движение заданного рода, которое отображает A на A0 и B на B0.

158

Композиция любого числа движений первого рода есть движение первого рода. Композиция четного числа движений второго рода есть движение первого рода, а композиция нечетного числа движений второго рода является движением второго рода.

§2. Центральная симметрия

2.1.Определение и свойства центральной симметрии плоскости.

Точки M и M1 называются симметричными относительно данной точки O, если точка O является серединой отрезка MM1. Точка O считается симметричной сама себе. Преобразование плоскости, которое отображает каждую точку M на симметричную ей точку относительно данной точки O, называется центральной симметрией с центром O и

обозначается ZO : ZO(M) = M1.

Очевидно, что если ZO(M) = M1, то ZO(M1) = M, т. е. преобразование, обратное центральной симметрии, есть та же центральная симмет-

рия:

ZO−1 = ZO, ZO ◦ ZO = E.

Иными словами, центральная симметрия является инволюционным преобразованием (12◦). Точки M и M1 взаимно симметричны относительно O.

Фигура F и ее образ F1 при центральной симметрии ZO называются симметричными фигурами относительно точки (рис. 3).

Теорема. Центральная симметрия есть движение.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если ZO(A) = A1 и ZO(B) = B1, то для любых точек A и B плоскости A1B1 = AB, что непосредственно усматривается из равенства треугольников OAB и OA1B1 (рис.4). В случае, когда точки O, A и B коллинеарны, равенство этих расстояний также очевидно.

Центральная симметрия плоскости есть движение первого рода. Согласно теореме п.1.2 центральная симметрия отображает каждую

прямую на прямую. Соответственные лучи центральносимметричных

159