Элементарная математика / Ponarin-I

1.163. Около окружности с центром O описан n-угольник A1 . . . An. Докажите, что

· · · ¯ sin A1 OA1 + sin A2 OA2 + . . . + sin An OAn = 0.

1.164. Если AA1, BB1, CC1 — высоты треугольника ABC и BC = a,

§11. Применение движений к построению графиков функций

11.1.Перенос графиков. Если дан график функции y = f(x), то графики функций y = f(x + a), y = f(x) + b, y = f(x + a) + b получаются переносами данного графика. Действительно, вспоминая формулы (9.1), рассмотрим три переноса

каждый из которых отображает произвольную точку M(x, y) графика y = f(x) на некоторую точку M0(x0, y0). Перепишем эти формулы так:

Этими подстановками получаем, что соответствующими переносами на векторы (−a, 0), (0, b), (−a, b) линия y = f(x) отображается соответственно на линии y0 = f(x0 + a), y0 − b = f(x0), y0 − b = f(x0 + a). Штрихи в обозначениях переменных утратили свое назначение (система координат одна и та же), поэтому их опускаем: y = f(x + a), y = f(x) + b, y = f(x + a) + b.

Итак, график функции y = f(x + a) получается переносом графика y = f(x) на вектор (−a, 0), т. е. параллельно оси Ox на расстояние |a| в направлении, противоположном знаку числа a (рис. 61). График функции y = f(x) + b получается переносом графика y = f(x) на вектор (0, b), т.е. параллельно оси Oy на расстояние |b| в направлении, соответствующем знаку числа b (рис.62). График функции y = f(x+ a) + b получается из графика y = f(x) композицией предыдущих переносов, т.е. переносом

на вектор (−a, b) (рис. 63).

В качестве хорошего примера рассмотрим построение графика

201

y = |f(x)|, y = f(|x|) и график функции, обратной функции y = f(x) (если такая существует).

тельно оси Ox и симметрия относительно оси Oy соответственно. Этими симметриями кривая y = f(x) отображается соответственно на кривые y = −f(x) и y = f(−x). Итак, графики функций y = f(x) и y = −f(x) симметричны относительно оси Ox (рис.65), а графики y = f(x) и y = f(−x) симметричны относительно оси Oy (рис. 66).

Поскольку композиция двух осевых симметрий с перпендикулярными осями есть центральная симметрия относительно точки пересечения осей, то графики функций y = f(x) и y = −f(−x) симметричны относительно начала координат (рис. 67).

По определению модуля числа функция y = |f(x)| совпадает с функцией y = f(x) на тех промежутках числовой оси, на которых f(x) > 0, и совпадает с функцией y = −f(x), если f(x) 6 0. Поэтому для построения графика y = |f(x)| надо сохранить части графика y = f(x), лежащие выше (не ниже) оси Ox, а те части этого графика, которые находятся ниже (не выше) оси Ox, заменить симметричными им фигурами относительно Ox. На рис. 68 построен график y = |x2 − 4x + 3| на основании графика y = x2 − 4x + 3.

Аналогичным образом функция y = f(|x|) совпадает с функцией y = f(x) при x > 0 и с функцией y = f(−x) при x 6 0. Поэтому для построения графика y = f(|x|) надо сохранить часть графика y = f(x), лежащую правее оси Oy, и отобразить ее относительно оси Oy. Часть графика y = f(x), находящаяся левее оси Oy, отбрасывается. На рис. 69 построен график функции y = x2 − 4|x| + 3.

График функции y = |f(|x|)| получается из графика y = f(x) последовательным применением (в любом порядке) рассмотренных двух преобразований. На рис.70 построен график функции y = |x2 − 4|x| + 3|.

Если функция y = f(x) на некотором числовом промежутке каждое свое значение принимает только при одном значении x, то она имеет

203

13

−1

−1

y = x2 − 4|x| + 3

y

3

y = |x2 − 4|x| + 3|

Рис. 70

обратную функцию на этом промежутке. При сохранении обозначений через x и y для значений аргумента и значений функции график обратной функции имеет уравнение x = f(y), из которого выражается y через x: y = g(x).

Формулы (9.5) для осевой симметрии относительно прямой y = x принимают вид: x0 = y, y0 = x. Поэтому осевая симметрия относительно прямой y = x переводит кривую y = f(x) в кривую x = f(y). Следовательно, графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой, содержащей биссектрисы первого и третьего координатных

представлен на рис. 64. Каждое свое значение она принимает только один раз, поэтому имеет обратную функцию с областью определения (−∞, 3) (3, +∞) и областью значений (−∞, −2) (−2, +∞). График

204

Преобразование, обратное гомотетии HOk , задается формулой OX = = k1 OX0 и потому также является гомотетией с тем же центром O и

обратным коэффициентом k1 : (HOk )−1 = HO1/k.

12.2. Образ прямой при гомотетии. Докажем предварительно важную лемму.

Лемма. Если A0 и B0 — образы точек A и B при гомотетии HOk , то

A0B0 = k · AB.

Д о к а з а т е л ь с т в о. По условию OA0 = k · OA и OB0 = k · OB, по-

этому OB0 − OA0 = k · OB − k · OA = k · (OB − OA), или A0B0 = k · AB. На основании леммы и по определению умножения вектора на число имеем |A0B0| = |k||AB|. Значит, гомотетия, у которой |k| 6= 1, не сохраняет расстояния между точками, т. е. не является движением. Только при |k| = 1 гомотетия будет тождественным преобразованием или центральной симметрией. Отсюда ясно, что теорема об образе прямой при гомотетии требует специального доказательства. Далее, говоря о гомо-

тетии, считаем k 6= ±1.

Теорема. Гомотетия отображает каждую прямую на прямую.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть задана гомотетия HOk и некоторая прямая a. Пусть A a, B a (A 6= B) и HOk (A) = A0, HOk (B) = B0 (рис. 72).

Тогда по лемме A0B0 = k · AB. Если X — произвольная точка прямой a,

то по критерию коллинеарности векторов AX = t · AB, где t — действи-

A0X0 = t · AB. Последнее уравнение определяет собой образ прямой a при гомотетии HOk . Как уже отмечено, векторное уравнение такого вида определяет прямую a0, проходящую через точки A0 и B0. Так как соответственные при гомотетии точки X и X0 отвечают одному и тому же значению параметра t (в соответствующих уравнениях), то прямая a отображается этой гомотетией на прямую a0.

207

Если центр O гомотетии не лежит на данной прямой a, то a0 k a, так как A0B0 k AB. Если же O a, то a0 = a, поскольку точки O, X, X0 коллинеарны для любой точки X a. Итак, имеем два следствия.

Следствие 1. Прямая, не содержащая центр гомотетии, отображается этой гомотетией на п а р а л л е л ь н у ю ей прямую.

Следствие 2. Каждая прямая, содержащая центр гомотетии, отображается этой гомотетией н а с е б я.

12.3.Образы луча, полуплоскости и угла при гомотетии. Так как соответственные при гомотетии точки X и X0 соответствуют одному и тому же значению параметра t в соответствующих уравнениях AX = t·AB

иA0X0 = t · A0B0 данной прямой a и ее образа a0, то гомотетия сохраняет порядок точек прямой: на прямых a и a0 он соответствует порядку, установленному во множестве действительных чисел t. Отсюда вытекают последовательно следующие выводы.

1) Гомотетия отображает луч на луч. Эти лучи сонаправлены, если коэффициент гомотетии положителен, и противоположно направлены, если он отрицателен.

2) Гомотетия отображает полуплоскость на полуплоскость.

3) Гомотетия отображает угол на равный ему угол.

12.4.Задание гомотетии. Построение образа точки. Согласно определению гомотетию можно задать ее центром и коэффициентом.

Однако этот способ иногда неудобен для построений. Вместо коэффициента можно задать образ A0 одной точки A: HOk (A) = A0. Тогда коэффи-

циент k равен OA0 , хотя для построения образа произвольной точки

OA

он и не нужен. Итак, пусть гомотетия задана центром O и парой соответственных точек A → A0. Требуется построить образ X0 произвольной точки X. Предположим сначала, что X 6(OA) (рис.72). Так как X0 (OX) и (A0X0) k (AX) (следствие 1), то искомая точка X0 есть точка пересечения прямой OX и прямой, проходящей через точку A0 параллельно AX. Если Y (OA), то для построения ее образа Y 0 используем пару X → X0 (рис. 73): (X0Y 0) k (XY ), Y 0 (OA).

X

YA

X0

Рис. 73

208

До ка з а т е л ь с т в о. Если окружности w и w1 имеют общий центр O

ирадиусы r и r1, то гомотетии с общим центром O и коэффициентами k1 = rr1 и k2 = −rr1 таковы, что каждая из них отображает w на w1.

Рассмотрим случай, когда O1 6= O и r1 6= r. Пусть AB и A1B1 — параллельные диаметры этих окружностей (рис. 79). Зададим гомотетию H

A

w

B1

B

Рис. 79

двумя парами точек O →O1, A →A1. Поскольку всякая гомотетия отображает окружность на окружность, а эта гомотетия H центр O и точку A окружности w отображает на центр O1 и точку A1 окружности w1, то H(w) = w1 (центром и одной точкой окружность определяется однозначно). Центром гомотетии H служит точка S = (OO1) ∩ (AA1), а

210