Элементарная математика / Ponarin-I

231

§20. Угол, центр и двойные прямые подобия

20.1.Угол подобия. Рассмотрим сначала подобие первого рода. Оно представляет собой либо перенос, либо поворот, либо гомотетию, либо композицию гомотетии и поворота. При гомотетии и переносе прямая отображается на параллельную ей прямую, а при повороте угол между лучом и его образом постоянен: он равен углу поворота. Следовательно, при всяком подобии первого рода ориентированный угол между лучом и его образом постоянен для данного подобия. В частности, для гомотетии этот угол равен 0◦ или 180◦.

Перейдем к подобиям второго рода. Представим каждое подобие второго рода композицией осевой симметрии с фиксированной осью и подобия первого рода. Поэтому каждому подобию второго рода будет отвечать также некоторый постоянный угол. Более точно и в удобном для практики виде этот факт можно сформулировать так.

Если f — подобие второго рода, l — фиксированная прямая и m — произвольная прямая плоскости, то ориентированный угол a между прямой Sl(m) и прямой f(m) не зависит от выбора прямой m и равен углу между прямой l и прямой f(l).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть f = y ◦Sl, где y — подобие первого рода. Тогда f(m) = (y◦Sl)(m) = y(m1), где m1 = Sl(m). Как уже было выяснено раньше, угол a между m1 и y(m1) постоянен для данного подобия y первого рода, т. е. угол a между Sl(m) и f(m) постоянен для данного подобия f второго рода и фиксированной прямой l. В частности, при m = l будет Sl(l) = l и a = ](l, f(l)).

Таким образом, как подобию первого рода, так и подобию второго рода соответствует определенный постоянный угол a, причем для подобия второго рода он существенно зависит от выбора фиксированной прямой l. Этот угол называется углом подобия.

20.2. Центр подобия. При доказательствах теорем § 19 установлено, что всякое подобие, отличное от движения, имеет неподвижную точку — центр гомотетического поворота или центр гомотетической симметрии. При k 6= 1 неподвижная точка подобия единственна, так как если бы их было две, скажем, A и B, то необходимо AB = k · AB, откуда k = 1.

Из движений лишь поворот имеет единственную неподвижную точку. Остальные движения или не имеют неподвижных точек (перенос, переносная симметрия), или же имеют их бесконечное множество (осевая симметрия, тождественное преобразование).

Единственную неподвижную точку подобия называют центром подобия.

232

В п. 19.1 вместе с доказательством теоремы найден способ построения центра подобия первого рода с помощью двух окружностей (рис. 95). В п. 19.2 указан способ построения центра подобия второго рода, когда оно задано композицией гомотетии и осевой симметрии.

добия.

20.3. Два подобия с общим центром. Пусть подобие первого рода с центром O отображает точки A и B соответственно в точки A1 и B1.

Тогда OAOA1 = OBOB1 = k — коэффициент подобия и ]AOA1 = ]BOB1 = = f — угол подобия. Так как треугольники AOB и A1OB1 подобны, то

]AOB = ]A1OB1 = y и OB = OB1 = k1. Это значит, что точки B и B1

OA OA1

будут образами точек A и A1 при гомотетическом повороте с центром O, коэффициентом k1 и углом y. Имеем такой результат.

Если при подобии первого рода с центром O A → A1 и B → B1, то существует подобие первого рода с центром O, при котором A → B и A1 → B1.

20.4. Двойные прямые подобия. Подобие первого рода, отличное от гомотетии и переноса, не имеет двойных инвариантных прямых. Подобие второго рода, отличное от движения, обладает двумя и только двумя перпендикулярными двойными прямыми. Действительно, в п. 19.2 найдены две перпендикулярные прямые m и t, которые, очевидно, являются двойными. Гомотетическая симметрия при k 6= 1 не может иметь других двойных прямых, так как из всех двойных прямых гомотетии HTk (или HT−k) затем при симметрии St (или Sm) на себя отображаются только прямые m и t.

Нетрудно видеть, что двойные прямые m и t подобия второго рода служат осями симметрии каждой пары соответственных при этом

233

ных около треугольников MNB и M1N1B, где B = (MM1) ∩ (NN1).

З а д ач а 4. Построить квадрат ABCD так, чтобы вершина A находилась в данной точке, а вершины B и C принадлежали данной окружности.

Р е ш е н и е. Пусть w = (O, R) — данная окружность, ABCD — иско-

√

мый квадрат (рис. 103). Композиция поворота RA45◦ и гомотетии HA 2

235

Задачи

2.58.Если преобразование плоскости отображает каждую прямую на прямую и угол — на равный ему угол, то оно является подобием. Докажите.

2.59.В прямоугольном треугольнике ABC из вершины C прямого угла проведена высота CD. Каким подобием можно отобразить треугольник ACD на треугольник ABC?

2.60.Через точку M проведены к окружности две секущие, встречающие ее соответственно в точках A и B, C и D. Какими подобиями второго рода отрезок AC отображается на отрезок BD?

2.61.Даны две неравные окружности с различными центрами. Какими подобиями можно отобразить одну из них на другую?

2.62.Подобие первого рода задано двумя парами соответственных точек A → B, B → C (AB → BC). Докажите, что OC : OA = k2, где O — центр и k — коэффициент подобия.

2.63.На данной прямой найдите пару соответственных точек при заданном подобии первого рода.

2.64.Постройте окружность с данным центром, касающуюся своего образа при заданном подобии.

239

2.65.Даны два одинаково ориентированных квадрата OABC и OA1B1C1. Докажите, что прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке. Найдите угол между лучами AA1 и BB1, AA1 и CC1.

2.66.Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AB. Построены высота CD и перпендикуляр DE к стороне BC (E (BC)). Точка M — середина отрезка DE. Докажите, что отрезки AE и CM перпендикулярны.

2.67.Дан квадрат ABCD. Точки P и Q лежат на сторонах AB и BC соответственно, причем BP = BQ. Проведена высота BK треугольника BP C. Докажите, что (DK) (QK).

2.68.Из произвольной точки M окружности, описанной около треугольника ABC, проведены перпендикуляры MA1 и MB1 к сто-

ронам BC и AC. Точки P и Q — середины отрезков AB и A1B1 соответственно. Докажите, что P QM = 90◦. Докажите, что угол между прямыми AB и A1B1 равен углу OMC, где O — центр окружности, описанной около треугольника ABC.

2.69.Треугольник A1B1C1 является образом треугольника ABC при повороте около центра описанной окружности на угол a < 180◦. Докажите, что точки пересечения соответственных сторон этих треугольников являются вершинами треугольника, подобного треугольнику ABC. Найдите коэффициент подобия.

2.70.Треугольник ABC поворотом около точки P описанной около него окружности отобразился на треугольник A1B1C1. Докажите, что точки пересечения соответственных сторон коллинеарны.

2.71.Прямая, проходящая через одну из точек пересечения окружностей w и w1, пересекает их вторично в точках A и A1. Докажите, что величина угла между касательными к окружности в точках A и A1 не зависит от выбора секущей.

2.72.Две окружности пересекаются в точках A и B, через которые проведены произвольные секущие MN и P Q, пересекающие вторично одну окружность в точках M и P , а другую — в точках N и Q соответственно. Докажите, что хорды MP и NQ параллельны.

2.73.Прямые m и n пересекаются в точке S под углом f. Через точку S проведены прямые a и b. Точки A и B — ортогональные проекции точки M m на прямые a и b, точки A1 и B1 — ортогональные проек-

ции точки N n на прямые a и b. Найдите угол между прямыми AB

иA1B1.

2.74.Точки A, B, M коллинеарны. На отрезках AM и MB построе-

ны квадраты в одной полуплоскости с границей AB. Около квадратов описаны окружности, пересекающиеся в точке N. Найдите множество точек N при различном выборе точки M на прямой AB.

240