- •Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «кемеровский государственный университет»
- •Кафедра автоматизации исследований
- •И технической кибернетики
- •Дискретная математика
- •Содержание
- •Глава 1. Теория множеств. Дискретная теория вероятности......5
- •Глава 2. Теория графов.....................................................................53
- •Глава 3. Дискретные структуры: конечные автоматы, коды...76
- •Глава 4. Алгебра логических функций..........................................88
- •Глава 5. Логика высказываний и логика предикатов..............109
- •Упражнения
- •1.2. Векторы и прямые произведения множеств. Проекция вектора на ось
- •Упражнения
- •1.3. Комбинаторика Правило суммы
- •Правило произведения
- •Число размещений без повторений
- •Число размещений с повторениями
- •Число перестановок без повторений
- •Число сочетаний без повторений
- •Упражнения
- •1.4. Введение в дискретную теорию вероятностей
- •Свойства элементарных событий:
- •Соотношения между событиями:
- •Свойства операций над событиями:
- •Упражнения
- •1.5. Соответствия и функции
- •Взаимно однозначные соответствия и мощность множеств
- •Упражнения
- •1.6. Отношения
- •Способы задания бинарных отношений
- •Свойства бинарных отношений
- •Отношение эквивалентности
- •Отношение порядка
- •Лексико-графический порядок.
- •Упражнения
- •1.7. Операции и алгебры
- •Свойства бинарных алгебраических операций
- •1.8. Гомоморфизм и изоморфизм алгебр
- •Полугруппы, группы, решетки
- •Упражнения
- •Глава 2. Теория графов
- •2.1. Основные определения, способы задания, основные классы, изоморфизм графов
- •Способы задания графа
- •Степени вершин графа
- •Части, суграфы и подграфы
- •Операции над частями графа
- •Графы и бинарные отношения
- •Упражнения
- •Маршруты, цепи и циклы. Расстояния, диаметры, центры. Обходы. Разделяющие множества и разрезы
- •Упражнения
- •Деревья, их свойства. Характеристические числа графов. Сети
- •Упражнения
- •Глава 3. Дискретные структуры: конечные автоматы, коды
- •3.1. Машина Тьюринга
- •Упражнения
- •Основы теории кодирования
- •Упражнения
- •Глава 4. Алгебра логических функций
- •4.1. Основные определения
- •Упражнения
- •4.2. Эквивалентные преобразования
- •1) ; 2);
- •1) ; 2).
- •Упражнения
- •4.3. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы
- •Упражнения
- •4.4. Дизъюнктивные нормальные формы и импликанты
- •Упражнения
- •4.5. Минимизация днф. Тупикова днф
- •Упражнения
- •4.6. Алгебра Жегалкина
- •Упражнения
- •4.7. Двойственность в алгебре логики. Самодвойственные функции
- •Принцип двойственности
- •Упражнения
- •4.8. Функциональная полнота систем
- •Упражнения
- •Глава 5. Логика высказываний и логика предикатов
- •5.1. Логика высказываний
- •Алгебра логики
- •Исчисление высказываний
- •Упражнения
- •5.2. Логика предикатов
- •Упражнения
- •Глава 6. Схемы переключателей. Комбинационные схемы
- •Схемы переключателей
- •Комбинационные схемы
- •Упражнения
- •Литература
- •650043, Кемерово, ул. Красная, 6.
1.5. Соответствия и функции
Соответствием множеств А и В называется подмножество G такое, что . Если, то говорят, что “b соответствует a при соответствии G”. Область определения соответствия G – множество пр1 G A. Область значений соответствия G – множество пр2G B.
Соответствие G называется всюду (полностью) определенным – если пр1 G = А (в противном случае – частично определенное соответствие). Соответствие G называется сюрьективным, если пр2 G = B.
Образ элемента a в множестве B при соответствии G – это множество всех элементов , которые соответствуют.Прообраз элемента b в множестве А при соответствии G – это множество всех , которым соответствует.
Образом множества С пр1 G называется объединение образов всех элементов С. Прообразом множества D пр2 G называется объединение прообразов всех элементов D.
Соответствие G называется функциональным (однозначным) соответствием, если образом любого элемента из пр1 G является единственный элемент из пр2 G.
Соответствие G называется инъективным соответствием, если прообразом любого элемента из пр2 G является единственный элемент из пр1 G.
Соответствие F является функцией типа , если оно функционально (однозначно) ().
Соответствие G является отображением множества А в множество В, если оно функционально и полностью определено.
Соответствие G является взаимно однозначным, если оно: 1) всюду определено; 2) сюрьективно; 3) функционально; 4) инъективно.
Преобразованием множества А называется отображение типа .
Функция типа называется n-местной функцией ().
Соответствие называется обратным к, если Н таково, что.
Если соответствие, обратное к функции является функциональным, то оно называется функцией, обратной к f ().
Пусть дана функция . Соответствиеявляется функцией тогда и только тогда, когдаf инъективна, и является отображением тогда и только тогда, когдаf инъективна и сюрьективна (т.е. биективна).
Утверждение: Для функции существует обратная функциятогда и только тогда, когдаf является взаимнооднозначным соответствием между своей областью определения и областью значений.
Пусть даны функции и.
Функция называетсякомпозицией функций f и g, если (обозначение). Часто говорят, чтоh получена подстановкой f в g.
Для многоместных функций ивозможны различные варианты подстановкиf в g, задающие функции различных типов. Например, при ифункция имеет 6 аргументов и тип .
Для множества многоместных функций типа возможны любыеподстановки функций друг в друга, а также любые переименования аргументов. Например, переименование виз функциичетырёх аргументов порождает функцию трёх аргументов:.
Функция, полученная из функций некоторой подстановкой их друг в друга и переименованием аргументов, называетсясуперпозицией функций . Выражение, задающее эту суперпозицию и содержащее функциональные знаки, скобки и символы аргументов, называетсяформулой.
Взаимно однозначные соответствия и мощность множеств
Утверждение (о взаимно однозначном соответствии равномощных множеств): Если между конечными множествами А и В существует взаимно однозначное соответствие, то .
Этот факт:
1) позволяет установить равенство мощностей двух множеств, не вычисляя мощностей этих множеств;
2) дает возможность вычислить мощность множества, установив его взаимно однозначное соответствие с множеством, мощность которого известна или легко вычисляется.
Теорема (о числе подмножеств конечного множества)
Если для конечного множества А (), то число всех подмножеств множестваА равно .
Множества равномощны, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие.
Счетные множества это множества равномощные N (т. е. между ними и N можно установить взаимно однозначное соответствие).
Утверждение 1: Множество – счетно.
Утверждение 2: Любое бесконечное подмножество множества N – счетно.
Утверждение 3: Множество – счетно.
Следствие: Множество – положительных рациональных чисел – счетно.
Утверждение 4: Множество , где, счетно.
Утверждение 5: Объединение конечного числа счетных множеств – счетно.
Утверждение 6: Объединение счетного множества конечных множеств – счетно.
Следствие: Множество всех слов конечного алфавита – счетно.
Утверждение 7: Объединение счетного множества счетных множеств – счетно.
Несчетные бесконечные множества называются множествами мощности континуум. (Мощность несчетного бесконечного множества называется континуумом).
Теорема (Кантора): Множество всех действительных чисел отрезка [0, 1] имеет мощность континуума.
Следствие: Множество всех подмножеств несчетного множества континуально.