Дискретная математика / Документ Microsoft Office Word (3)
.docxСтохастический эксперимент это эксперимент, результат которого заранее (до его проведения) предугадать нельзя.
Каждый неразложимый исход опыта (эксперимента) называется элементарным событием и обозначается . Множество всех элементарных событий, относящихся к одному и тому же эксперименту, называется пространством элементарных событий и обозначается .
Случайным событием или просто событием называется любое подмножество пространства элементарных событий . События обозначают прописными буквами латинского алфавита A, B, C, . . .
Свойства элементарных событий:
-
элементарные события являются взаимно исключающими друг друга;
-
в результате опыта обязательно происходит одно из элементарных событий;
-
каково бы ни было случайное событие А, по наступившему элементарному событию можно сказать о том, произошло или не произошло событие А.
Пусть пространство элементарных событий рассматриваемого опыта. Для каждого возможного в этом опыте события А выделим совокупность всех элементарных событий, наступление которых необходимо влечет наступление А. Говорят, что эти элементарные события благоприятствуют событию А. (Множество этих элементарных событий обозначают тем же символом А, что и соответствующее событие).
Таким образом, событие А состоит в том, что произошло одно из элементарных событий, входящих в указанное множество А. То есть мы отождествляем событие А и соответствующее ему множество А элементарных событий.
Событие, состоящее из всех возможных элементарных событий , называется достоверным и обозначается (так же, как и пространство элементарных событий). (Достоверное событие наступает в результате появления любого элементарного события. Но тогда ему благоприятствует любое ).
Невозможным называется событие, не наступающее ни при каком элементарном событии. Ему соответствует пустое множество элементарных событий: .
Соотношения между событиями:
1. Если каждое появление события А сопровождается появлением события В, то говорят, что А влечет В, или А является частным случаем В, или В является следствием события А, или А благоприятствует В ( ). Если , то каждое элементарное событие, входящее в А, содержится в событии В.
2. События А и В называются равносильными (равными, эквивалентными) ( ), если они состоят из одних и тех же элементарных событий, т.е. всегда происходят или не происходят одновременно.
3. Суммой (объединением) событий А и В ( или ) называется событие, которое состоит из элементарных событий, входящих хотя бы в одно из событий А и В, т. е. событие, происходящее тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий А и В (или А или В)
Очевидно, что: ; , А + А = А.
4. Произведением (пересечением) двух событий А и В (АВ или ) называется событие, которое состоит из элементарных событий, входящих и в событие А, и в событие В одновременно, т. е. событие, происходящее только тогда, когда происходит и событие А, и событие В.
Очевидно, что: ; ; .
5. Два события называются несовместными, если их одновременное появление в опыте невозможно. Следовательно, если А и В несовместны, то АВ = .
Элементарные события попарно несовместны: при .
6. Событием, противоположным событию А () называется событие, которое состоит из всех элементарных событий, не входящих в А. Противоположное событие происходит тогда и только тогда, когда А не происходит.
Очевидно, что: ; .
7. Разностью событий А и В ( или ) называется событие, происходящее тогда и только тогда, когда происходит событие А и не происходит событие В.
Очевидно, что: ; .
8. События образуют полную группу событий, если .
Свойства операций над событиями:
1. ; 2. ;
-
; 4. A + B = B + A, AB = BA ;
-
A(BC) = (AB)C, 6. A + (B + C) = (A + B) + C ;
-
A(B + C) = AB + AC ; 7. .
Рассмотрим пространство элементарных событий , соответствующее некоторому стохастическому эксперименту, и пусть F некоторая система случайных событий.
Система событий F называется алгеброй событий, если выполняются условия:
1) ;
2) если ;
3) если А и В и .
Отсюда следует, что применяя любые из введенных выше операций к произвольной системе событий из F, получим событие, так же принадлежащее F. Таким образом, алгеброй событий называется класс событий, замкнутый относительно операций объединения, пересечения и дополнения.
Вероятность события численно характеризует степень объективной возможности этого события.
Пусть пространство элементарных событий некоторого стохастического эксперимента и в выделена система событий F, являющаяся алгеброй событий.
Определение: Если каждому событию поставлено в соответствие число р(А) и верны свойства:
1) ; 2) ;
3) если А и В несовместны , то р(А+В) = р(А) + р(В),
тогда число р(А) называется вероятностью случайного события А.
Свойства вероятности:
1. ;
2. Если события A и В несовместны, то р(А+В) = р(А) + р(В);
3. .
Пространство элементарных событий с выделенной в нем алгеброй событий F и определенной на измеримом пространстве (, F) вероятностной мерой р(А), , называется вероятностным пространством и обозначается (, F, p(A)).
Классическое определение вероятности
Если множество элементарных событий состоит из n равновозможных элементарных событий, то вероятность р(А) события А равна числу m элементарных событий, входящих в А, деленному на число всех элементарных событий, т. е. .
Условной вероятностью называют вероятность события А, вычисленную в предположении, что событие В уже наступило.
Условная вероятность события А при условии, что событие В произошло, определяется формулой
, где .
События А и В – называются независимыми, если при происхождении одного из них не изменяется вероятность происхождения другого. Для независимых событий выполняется равенство .
Очевидно, что для независимых событий справедливо:
.
Смысл определения независимости событий заключается в том, что если произошло одно из независимых событий, то это никак не влияет на вероятность появления другого события.
События называются независимыми в совокупности, если для любых k из них выполняется соотношение:
.
Если это соотношение выполняется при k = 2, то события называются попарно независимыми.
Теорема сложения. Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
p(А+В) = p(А) + p(В) – p(АВ).
Если события А и В несовместны, то p(А+В) = p(А) + p(В).
Теорема умножения. Вероятность совместного наступления двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого при условии, что первое событие наступило: