Упражнения

1. Определите свойства соответствий между множествами и . Какие из них являются функциями типа

1) ; 3);

2) ; 4).

2. Соответствие задано рисунком. Определить свойства соответствия. Является ли оно функцией, отображением?

Рис 1. Рис.2. Рис.3.

Для рис. 1 определить:

1) образ 2; 2) образ 4; 3) образ [2; 4]; 4) образ (2; 4]; 5) прообраз 2; 6) прообраз 4; 7) прообраз [2;4]; 8) прообраз (0;4).

Для рис. 2 определить:

1) образ 2; 2) образ 4; 3) образ [2; 4]; 4) образ (4; 6]; 5) прообраз 0; 6) прообраз 4; 7) прообраз [0;4]; 8) прообраз (0;4).

Для рис. 1 определить:

1) образ 2; 2) образ 4; 3) образ [2; 4]; 4) образ (0; 4]; 5) прообраз 2; 6) прообраз 4; 7) прообраз [2;4]; 8) прообраз (2;4).

3. Определите свойства соответствий между множествами и. Какие из них являются функциями типа

1) ; 3);

2) ; 4).

4. Определите, какие из следующих подмножеств множестваявляются функциями. Объясните свой ответ.

1) ,,

2) ,

5. Пусть , – функции . Найдите:

1) ;		3) ;
2) ;		4) .

5. Дано множество и два преобразования этого множества (т.е. функции типа ):

и

или, как обычно принято записывать преобразования конечных множеств:

и .

Найти композиции преобразований: и .

7. Найти композиции преобразований: и , если

1) и ;

2) и ;

3) и .

8. Пусть тип функции _. Для различных А, В и f определить область определения и область значения. Будут ли у этих функций обратные? Если да, то будут ли они отображениями. Сделайте вывод о том, какими свойствами должна в этом случае обладать функция.

1) , если а)А=R; В=R; б) A=N; В=N.

2) , если а)А=R₊; В=R; б) A=N₀; В=N.

3) , если а)А=R; В=R; б) A=R₊; В=R.

4) , если а)А=R; В=R; б) A=R₊; В=R₊.

5), если а)А=R; В=R;

б) A=;В=[0; 1].

8. Определить область определения и область значений композиций и.

1) ;; г);;

2) ;; д);;

3) ;; е);.

10. Найти композиции преобразований: и , если

1) и ;

2) и;

3) и _.

11. Найти композиции ,,и, еслии  функции типа .

₁₎ =;

2) =;

₃₎ =;

4) =.

1.6. Отношения

Подмножество называетсяn - местным отношением на множестве М. Говорят, что находится в отношенииR, если .

Одноместное отношение – это просто подмножество М. Такие отношения называют признаками: элемент а – обладает признаком R, если и.

Свойства одноместных отношений это свойства подмножеств М, поэтому для случая n = 1 термин “отношение” употребляется редко.

Примером трехместного (тернарного) отношения является множество троек нападающих в хоккейной команде. Любой из нападающих находится в этом отношении со всеми теми игроками, с которыми он играет в одной тройке (один нападающий может, вообще говоря, участвовать более, чем в одной тройке).

При n = 2 – отношения называются двуместными или “бинарными”. Если a, b находятся в отношении R, это записывается aRb.

Пусть дано отношение R на М. Для любого подмножества естественно определяется отношение, называемоесужением R на , которое получается из R удалением всех пар, содержащих элементы, не принадлежащие . Иначе говоря,. Строго говоря,R и  это разные отношения с разными областями определения.