Упражнения

1. Записать вектор-столбец функции, заданной формулой:

1. ;

2. _;

3. _;

4. _;

5. _;

6. _;

7. _.

2. Разложить

1. по переменной х функцию ;

2. по переменной у функцию ;

3. по переменной z функцию

4. по переменным х и у функцию ;

5. по переменным х и z функцию ;

6. по переменным у и z функцию

7. по переменным х, у и z функцию .

Вывести правило получения совершенной дизъюнктивной нормальной формы из вектор-столбца.

4.2. Эквивалентные преобразования

Формулы, представляющие одну и ту же функцию называются равносильными (эквивалентными).

Булевыми операциями называются конъюнкция, дизъюнкция и отрицание. Булевой формулой называется формула, содержащая кроме символов переменных и скобок только символы конъюнкции, дизъюнкции и отрицания.

Основные свойства булевых операций:

1) ; 2);

3) ; 4);

5) ; 6);

7) ; 8);

9) ; 10);

11) ; 12);

13) ;

14) ; 15);

16) ; 17);

18) ; 19).

Эти свойства проверяются путем подстановки в обе части равенства поочередно всех наборов значений аргументов. С помощью основных свойств булевых операций доказываются следующие законы:

– закон поглощения

1) ; 2);

– закон простого склеивания

;

– закон расщепления

;

– закон обобщенного склеивания

1) ; 2).

Основные свойства булевых операций и законы применяются для эквивалентных преобразований одной равносильной формулы в другую.

Правило получения СДНФ из вектор-столбца

1. Выбрать все единичные наборы значений аргументов.

2. Каждому единичному набору поставить в соответствие элементарную конъюнкцию всех переменных так, чтобы в конъюнкции переменная была с отрицанием, если в наборе она равна 0.

3. Соединить полученные элементарные конъюнкции знаком дизъюнкции.

Упражнения

Повторение

1. Упростить формулу с помощью эквивалентных преобразований. Получить дизъюнктивную нормальную форму (ДНФ). Привести формулу к СДНФ путем расщепления.

1. ;

2. ;

3. .

2. Разложить функцию по переменной х; у; z.

1. ;

2. ;

3. .

3. Упростить формулу с помощью эквивалентных преобразований. Получить дизъюнктивную нормальную форму (ДНФ). Построить СДНФ из вектор-столбца.

   1. ;

   2. ;

   3. ;

   4. ;

   5. ;

   6. ;

   7. ;

   8. .

3. Привести ДНФ к СДНФ путем расщепления.

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

4.3. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы

Правило перехода от ДНФ к КНФ

1. Пусть дана ДНФ F функции f.

.

Здесь – элементарные конъюнкции.

2. Применим закон двойного отрицания: .

3. Приведем к ДНФ .

Здесь – элементарные дизъюнкции.

4. Возьмем второе отрицание над F. Во время преобразования не будем раскрывать скобки – остановимся на формуле, имеющей вид конъюнкции элементарных дизъюнкций – КНФ.

Замечание.

Если при приведении к ДНФ (п. 3) получить СДНФ, то в пункте 4 получится СКНФ функцииF.

Правило получения СКНФ из вектор-столбца

1. Выбрать все нулевые наборы значений аргументов.

2. Каждому нулевому набору поставить в соответствие элементарную дизъюнкцию всех переменных так, чтобы в дизъюнкции переменная была с отрицанием, если в наборе она равна 1.

3. Соединить полученные элементарные дизъюнкции знаком конъюнкции.