Упражнения

1. Предикат задан на множествеN². Причем : «х > y»; :«х < y»; :«х y»; : «х y»; : «х делится на y без остатка»; «х и y имеют общий делитель, отличный от единицы».

При каких будут истинны значения предиката:

1) х = 2 и у = 4; 3) х = 5 и у = 5;

2) х = 4 и у = 2; 4) х = 7 и у = 3;

предикатного выражения:

5) ; 7);

6) ; 8).

2. Указать значения выражений, которые получаются при навешивании кванторов на переменные предиката:

1. P(x, y): « x<y», заданный на множестве натуральных чисел.

2. P(x, y): «x делится на y», заданный на множестве натуральных чисел.

3. P(x, y): «x и y одновременно четные числа», заданный на множестве натуральных чисел.

4. P(x, y): «x является родителем y», заданный на множестве людей.

5. P(x, y): «x является братом y», заданный на множестве людей.

6. P(x, y): «x живет в одной квартире с y», заданный на множестве людей.

7. P(x, y): «x и y лежат на одинаковом расстоянии от начала координат», заданный на множестве точек декартовой плоскости.

8. P(x, y): «x и y лежат на одинаковом расстоянии от оси ОХ», заданный на множестве точек декартовой плоскости.

3. Пусть на множестве М= предикат P(x, y) задан таблицей.

х	у	Р (х, у)
а	а	0
a	b	1
a	c	1
b	a	0
b	b	1
b	c	1
c	a	0
c	b	1
c	c	1

Навесить кванторы на его переменные всеми возможными способами и определить значения получившихся предикатных формул.

4. Проверить тождественную истинность следующих предикатных формул:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

5. Получить префиксную нормальную форму следующих предикатных формул:

1. ;

2. ;

3. .

Глава 6. Схемы переключателей. Комбинационные схемы

1. Схемы переключателей

Релейно-контактные схемы (или переключательные схемы) широко используются в технике автоматического управления.

Под переключательной схемой понимают схематическое изображение некоторого устройства, состоящее из следующих элементов:

1) переключателей (ключей);

2) соединяющих их проводников;

3) входов в схему и выходов из нее (полюсов).

Простейшая схема содержит один переключатель Р и имеет один вход и один выход. Переключателю Р ставится в соответствие истинное высказывание Р, гласящее «переключатель Р замкнут».

Переключателю ставится в соответствие истинное высказывание: «переключательР разомкнут» или «переключатель замкнут».

Таким образом, когда Р замкнут, – разомкнут и наоборот.

Если высказывание Р истинно, то переключатель Р замкнут – схема пропускает ток, если ложно – не пропускает. Следовательно, любому высказыванию может быть поставлена в соответствие переключательная схема с двумя полюсами (двухполюсная схема).

Конъюнкции высказываний А и В соответствует последовательное соединение переключателей А и В:

Дизъюнкции высказываний А и В соответствует параллельное соединение переключателей А и В:

Так как любая формула логики высказываний может быть записана в виде ДНФ или КНФ, то ясно, что любой формуле можно сопоставить схему переключателей. Причем, упрощение формулы ведет к упрощению схемы.

Пример.

Имеется длинный коридор (или высокая башня) во всей длине которого установлены светильники. На обоих концах коридора установлены выключатели. Как они должны быть устроены, чтобы можно было включить свет на одном конце коридора, и, пройдя коридор, выключить свет на другом его конце. Построить схему переключателей.

Итак, переключателей должно быть два. Пусть, например, свет не горит, и оба переключателя разомкнуты. Тогда, переключатель А замыкается, свет горит. Коридор пройден, переключатель В замыкается, свет не горит. Оба переключателя замкнуты – свет не горит. И наоборот.

Составим таблицу истинности.

А	В	F(A, B)
0	0	0
1	0	1
0	1	1
1	1	0

Построим СДНФ данной логической функции.

.

Соответствующая схема переключателей имеет вид: