- •Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «кемеровский государственный университет»
- •Кафедра автоматизации исследований
- •И технической кибернетики
- •Дискретная математика
- •Содержание
- •Глава 1. Теория множеств. Дискретная теория вероятности......5
- •Глава 2. Теория графов.....................................................................53
- •Глава 3. Дискретные структуры: конечные автоматы, коды...76
- •Глава 4. Алгебра логических функций..........................................88
- •Глава 5. Логика высказываний и логика предикатов..............109
- •Упражнения
- •1.2. Векторы и прямые произведения множеств. Проекция вектора на ось
- •Упражнения
- •1.3. Комбинаторика Правило суммы
- •Правило произведения
- •Число размещений без повторений
- •Число размещений с повторениями
- •Число перестановок без повторений
- •Число сочетаний без повторений
- •Упражнения
- •1.4. Введение в дискретную теорию вероятностей
- •Свойства элементарных событий:
- •Соотношения между событиями:
- •Свойства операций над событиями:
- •Упражнения
- •1.5. Соответствия и функции
- •Взаимно однозначные соответствия и мощность множеств
- •Упражнения
- •1.6. Отношения
- •Способы задания бинарных отношений
- •Свойства бинарных отношений
- •Отношение эквивалентности
- •Отношение порядка
- •Лексико-графический порядок.
- •Упражнения
- •1.7. Операции и алгебры
- •Свойства бинарных алгебраических операций
- •1.8. Гомоморфизм и изоморфизм алгебр
- •Полугруппы, группы, решетки
- •Упражнения
- •Глава 2. Теория графов
- •2.1. Основные определения, способы задания, основные классы, изоморфизм графов
- •Способы задания графа
- •Степени вершин графа
- •Части, суграфы и подграфы
- •Операции над частями графа
- •Графы и бинарные отношения
- •Упражнения
- •Маршруты, цепи и циклы. Расстояния, диаметры, центры. Обходы. Разделяющие множества и разрезы
- •Упражнения
- •Деревья, их свойства. Характеристические числа графов. Сети
- •Упражнения
- •Глава 3. Дискретные структуры: конечные автоматы, коды
- •3.1. Машина Тьюринга
- •Упражнения
- •Основы теории кодирования
- •Упражнения
- •Глава 4. Алгебра логических функций
- •4.1. Основные определения
- •Упражнения
- •4.2. Эквивалентные преобразования
- •1) ; 2);
- •1) ; 2).
- •Упражнения
- •4.3. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы
- •Упражнения
- •4.4. Дизъюнктивные нормальные формы и импликанты
- •Упражнения
- •4.5. Минимизация днф. Тупикова днф
- •Упражнения
- •4.6. Алгебра Жегалкина
- •Упражнения
- •4.7. Двойственность в алгебре логики. Самодвойственные функции
- •Принцип двойственности
- •Упражнения
- •4.8. Функциональная полнота систем
- •Упражнения
- •Глава 5. Логика высказываний и логика предикатов
- •5.1. Логика высказываний
- •Алгебра логики
- •Исчисление высказываний
- •Упражнения
- •5.2. Логика предикатов
- •Упражнения
- •Глава 6. Схемы переключателей. Комбинационные схемы
- •Схемы переключателей
- •Комбинационные схемы
- •Упражнения
- •Литература
- •650043, Кемерово, ул. Красная, 6.
1.8. Гомоморфизм и изоморфизм алгебр
Алгебры разного типа, очевидно, имеют существенно различное строение. Если же алгебры имеют одинаковый тип, то наличие у них сходства характеризуется с помощью вводимых ниже понятий гомоморфизма и изоморфизма.
Пусть даны две алгебры
и
одинакового типа, т. е. арности и;и;и– одинаковы.
Гомоморфизмом алгебры А в алгебру В называется отображение –, удовлетворяющее условию:
(1)
для всех (– арность операцийи.
Смысл условия (1):
независимо от того, выполнена ли сначала операция в множествеK и затем произведено отображение Г, либо сначала произведено отображение Г, а затем в множестве M выполнена соответствующая операция , результат будет одинаков.
Изоморфизмом алгебры А на алгебру В называется взаимно однозначный гомоморфизм. В этом случае существует обратное отображение , так же взаимно однозначное.
Пусть ,. Тогда. Заменим в (1) левые части этих равенств на правые и применим к обеим частям получившегося равенства. Так как, то получим:
,
учитывая, что ,
, , получим
. (2)
Равенство (2) – это то же равенство (1) с заменой Г на , элементов множестваK на элементы множества М и переменой местами и . Иначе говоря, – это изоморфизм В на А.
Утверждение 1:
Если существует изоморфизм А на В, то существует изоморфизм В на А; при этом алгебры А и В называются изоморфными.
Утверждение 2:
Мощности несущих множеств изоморфных алгебр равны (при гомоморфизме это равенство может не выполняться).
Автоморфизм на себя или автоморфизм – это гомоморфизм при условии, что А = В.
Изоморфизм в себя – изоморфизм .
Примеры:
Пусть – множество всех целых чисел;– множество всех четных чисел;
а) алгебры иизоморфны. Изоморфизмом является отображение, причем, условие (1) здесь имеет вид: 2 (a + b) = 2a + 2b. Поскольку , тоГ – изоморфизм алгебры в себя.
б) отображение является для алгебрыавтоморфизмом.
Условие (1) имеет вид:
- (a + b) = (-a) + (-b);
в) отображение для алгебрыне является автоморфизмом, так как
.
2. Изоморфизмом между алгебрами иявляетсяотображение(– положительное подмножествоR).
Условие (1) имеет вид равенства:
.
3. Булевы алгебры Кантора B(U),) иB(),), образованные двумя различными множествамиU и одинаковой мощности, изоморфны. Операции у них просто одинаковы, а отображениемГ может служить любое взаимно однозначное соответствие между U и .
Утверждение 3:
Отношение изоморфизма является отношением эквивалентности на множестве алгебр:
– рефлексивность отношения изоморфизма очевидна;
– симметричность следует из существования обратного изоморфизма;
– транзитивность устанавливается следующим образом: если – изоморфизмА на В, – изоморфизмВ на С, то изоморфизмом А на С будет композиция и.
Классами эквивалентности в разбиении по отношению изоморфизма являются классы изоморфных между собой алгебр. Понятие изоморфизма – одно из важнейших в математике. Его сущность, как видно из примеров можно выразить так: если алгебры А и В изоморфны, то элементы и операции в В можно переименовать так, что В совпадет с А.
Из условия (1) изоморфизма следует, что любое эквивалентное соотношение в алгебре А сохраняется в любой изоморфной ей алгебре . Это позволяет получить такие соотношения в алгебреА и автоматически распространить их на все алгебры, изоморфные А. Распространенное в математике выражение «рассматривать с точностью до изоморфизма» означает, что рассматриваются только те свойства объектов, которые сохраняются при изоморфизме, т. е. являются общими для всех изоморфных объектов.
В частности, изоморфизм сохраняет ассоциативность, коммутативность, дистрибутивность.