Степени вершин графа

(Локальной) Степенью или (валентностью) вершины называется число ребер, инциндентных вершине v.

Если не оговаривается особо, то петля учитывается дважды при подсчете валентности вершины.

Граф называется правильным (с валентностью r) или r-валентным графом (регулярным, однородным), если степени всех его вершин равны.

Вершина называется изолированной, если она несмежна ни с одной из вершин графа, или, что то же самое, неинциндентна ни одному ребру. Степень этой вершины равна 0.

Вершина, имеющая степень, равную 1, называется висячей (концевой). Ребро, инциндентное висячей вершине, называют концевым.

Утверждение 1. (лемма о рукопожатиях): В н-графе сумма степеней всех вершин равна удвоенному числу ребер (т.е. четна): , где m – число ребер.

Следствие 1. Произвольный граф имеет четное число вершин нечетной степени.

Следствие 1. Число ребер в полном графе равно , где n – число вершин.

В ор-графе две (локальных) степени вершины: и число ребер с началом и концом в v соответственно.

Утверждение 2. Суммы степеней всех вершин ор-графа равны количеству ребер этого графа и, следовательно, равны между собой: , m – число ребер.

Части, суграфы и подграфы

Граф H называется частью графа G (), если множества его вершин и ребер содержатся в множествах вершин и ребер графаG:

Если множества вершин части графа H и графа G совпадают: , то графH называется суграфом графа G. Суграф H называется покрывающим для н-графа G, если любая вершина графа G инциндентна хотя бы одному ребру из Н. (Т.е., если граф G не имеет изолированных вершин, то и суграф покрывающий так же не должен иметь изолированных вершин).

Подграфом графас множеством вершинназывается часть графа, которой принадлежат все ребра инциндентные

(Подграф можно получить из графапутем стирания некоторых из вершин и/или ребер графа. При этом, если стираем вершину, то обязательно стираем и все ребра, инциндентные ей).

Операции над частями графа

Дополнение к частиH определяется множеством всех ребер графа G, не принадлежащих H:

, ;

Сумма частей и графаG, это граф, у которого

и ;

Произведение частей и графаG, это граф, у которого

и .

Части и не пересекаются по вершинам, если они не имеют общих вершин, а значит и общих ребер:

, .

Части и не пересекаются по ребрам, если

.

Если , то сумманазываетсяпрямой.

Графы и бинарные отношения

Отношению R, заданному на множестве V, взаимно однозначно соответствует ориентированный граф G(R) без кратных ребер с множеством вершин V, в котором ребро существует, только если выполнено. Симметричному отношениюR взаимно однозначно соответствует неориентированный граф без кратных ребер G(R). Антисимметричному отношению R взаимно однозначно соответствует ориентированный граф без кратных ребер, не содержащий пар вершин с ребрами, противоположно направленными к разным вершинам. Если R рефлексивно, то граф G(R) без кратных ребер имеет петли во всех вершинах. Если R антирефлексивно, то граф G(R) без кратных ребер не имеет петель. Если R транзитивно, то в графе G(R) без кратных ребер для каждой пары ребер иимеется замыкающее ребро. Пусть – дополнение отношения R на V: , где U –универсальное (полное) отношение , т.е. отношение, имеющее место между любой парой элементов изV.

Граф G() является дополнением графаG(R) (до полного орграфа K с множеством вершин V и множеством ребер ).

Граф обратного отношения G() отличается от графаG(R) тем, что направления всех ребер заменены на обратные.

Граф объединения двух отношений, заданных на V, является графом суммы двух графови:

.

Граф пересечения отношений на V, является графом пересечения двух графови:

.