Свойства операций над событиями:

_1. ; 2. ;

3. ; 4. A + B = B + A, AB = BA ;

5. A(BC) = (AB)C, 6. A + (B + C) = (A + B) + C ;

6. A(B + C) = AB + AC ; 7. .

Рассмотрим пространство элементарных событий , соответствующее некоторому стохастическому эксперименту, и пустьF  некоторая система случайных событий.

Система событий F называется алгеброй событий, если выполняются условия:

1) ;

2) если ;

3) если А и В и.

Отсюда следует, что применяя любые из введенных выше операций к произвольной системе событий из F, получим событие, так же принадлежащее F. Таким образом, алгеброй событий называется класс событий, замкнутый относительно операций объединения, пересечения и дополнения.

Вероятность события численно характеризует степень объективной возможности этого события.

Пусть  пространство элементарных событий некоторого стохастического эксперимента и в выделена система событийF, являющаяся алгеброй событий.

Определение: Если каждому событию поставлено в соответствие числор(А) и верны свойства:

1) ; 2);

3) если А и В несовместны , тор(А+В) = р(А) + р(В),

тогда число р(А) называется вероятностью случайного события А.

Свойства вероятности:

1. ;

2. Если события A и В  несовместны, то р(А+В) = р(А) + р(В);

3. .

Пространство элементарных событий с выделенной в нем алгеброй событийF и определенной на измеримом пространстве (, F) вероятностной мерой р(А), , называетсявероятностным пространством и обозначается (,F, p(A)).

Классическое определение вероятности

Если множество элементарных событий состоит изn равновозможных элементарных событий, то вероятность р(А) события А равна числу m элементарных событий, входящих в А, деленному на число всех элементарных событий, т. е. .

Условной вероятностью называют вероятность событияА, вычисленную в предположении, что событие В уже наступило.

Условная вероятность событияА при условии, что событие В произошло, определяется формулой

, где .

События А и В – называются независимыми, если при происхождении одного из них не изменяется вероятность происхождения другого. Для независимых событий выполняется равенство .

Очевидно, что для независимых событий справедливо:

.

Смысл определения независимости событий заключается в том, что если произошло одно из независимых событий, то это никак не влияет на вероятность появления другого события.

События называютсянезависимыми в совокупности, если для любых k из них выполняется соотношение:

.

Если это соотношение выполняется при k = 2, то события называютсяпопарно независимыми.

Теорема сложения. Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

p(А+В) = p(А) + p(В) – p(АВ).

Если события А и В несовместны, то p(А+В) = p(А) + p(В).

Теорема умножения. Вероятность совместного наступления двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого при условии, что первое событие наступило:

.

Если события А и В независимы, то .

Пример 1. Брошены три монеты. Найти вероятность того, что выпадут две “решки”.

Пространство элементарных событий данного стохастического эксперимента:={ООО, ООР, ОРО, РОО, ОРР, РОР, РРО, РРР} состоит из 8 равновозможных исходов (). Число благоприятных элементарных исходов для событияA = «выпали две “решки”» = {ОРР, РОР, РРО} равно 3 (). Следовательно,.

Пример 2. В студенческой группе из 15 девушек и 10 юношей по жребию разыгрывается билет в театр. Какова вероятность, что билет достанется девушке? Событию A = «билет достался девушке» благоприятствует 15 элементарных событий () из 25 равновозможных ().

Следовательно, .

Пример 3. Студент пришел на экзамен, зная лишь 20 из 25 вопросов программы. Экзаменатор задал студенту 3 вопроса. Найти вероятность того, что студент знает все эти вопросы.

Рассмотрим событие А = «студент знает ответы на все три заданных вопроса». Оно состоит из событий: «студент знает ответ на 1-ый вопрос» ()И «студент знает ответ на 2-ой вопрос» ()И «студент знает ответ на 3-ий вопрос» ().. Если студент ответил на первый вопрос, то всего осталось 19 вопросов, которые он знает из 24 оставшихся, следовательно, вероятность второго события, при условии, что первое произошло равна. Аналогично.

Таким образом, по теореме умножения вероятностей

.

(Или по классическому определению вероятности: , где число благоприятных событий число – сочетаний из 20 знакомых вопросов по три; число всевозможных событий – число сочетаний из всех 25 вопросов по три.)

Пример 4. Для сигнализации о возгорании установлены два независимо работающих датчика. Вероятности того, что при возгорании датчик сработает для первого и второго датчиков соответственно равны 0,9 и 0,95. Найти вероятность того, что при пожаре сработает: а) хотя бы один датчик; б) только один датчик.

Обозначим: – вероятность срабатывания 1-го датчика, тогда вероятность его несрабатывания равна ; – вероятность срабатывания 2-го датчика, тогда вероятность его несрабатывания равна .

Вероятность того, что при возгорании сработает хотя бы один датчик (событие А) можно вычислить по теореме сложения вероятностей: или через противоположное событие (оба датчика не сработали): .

Вероятность того, что при возгорании сработает только один датчик (событие В) равна .