Упражнения

1. Определить, что представляют собой последовательности вершин для графа, представленного на рисунке.

1. 1 – 2 – 3 – 4 – 2 – 5 ;

2. 1 – 2 – 3 – 4 – 7 – 5 ;

3. 1 – 2 – 5 ;

4. 1 – 2 – 3 – 4 – 2 – 5 – 6 – 1;

5. 1 – 2 – 5 – 6 – 1 .

1. Для графа, приведенного на рисунке построить маршрут, проходящий через вершину а: 1) три раза; 2) два раза; 3) один раз. Какими свойствами обладает этот маршрут.

Рис.1 Рис.2 Рис.3

2. Для графа, приведенного на рисунке найти построить: 1) маршрут общего вида, 2) цепь, 3) простую цепь, 4) циклический маршрут общего вида, 5) цикл, 6) простой цикл.

Рис.1 Рис.2

3. Для графа, приведенного на рисунке найти: 1) расстояния между вершинами; 2) диаметр; 3) все диаметральные цепи; 4) расстояние от вершины до наиболее удаленной вершины; 5) центры; 6) все радиальные цепи.

Рис.1 Рис.2

4. Для графа, приведенного на рисунке указать разделяющее множество ребер при удалении которого из графа, он распадется на компоненты связности, с множествами вершин идля рис. 1), 2), 3); с множествами вершинидля рис. 4), 5), 6).

Является ли это множество разрезом? Если является, то указать множество, которое являться разрезом не будет. Если не является, то указать разрез.

Рис. 1 Рис.2

Рис. 3 Рис.4

Рис. 5 Рис.6

5. Для графа, приведенного на рисунке определить, будет ли он Эйлеровым, Гамильтоновым. Если да, то построить эйлеров, гамильтонов цикл.

Рис.1 Рис.2 Рис.3

6. Опредилить, какой из графов, представленных на рисунке, является эйлеровым, полуэйлеровым (или, что то же самое, эйлеровым циклом, эйлеровой цепью).

7. Убедится в том, что граф, приведенный на рисунке, эйлеров и найти эйлеров цикл, пользуясь алгоритмом Флери.

8. Определить, какой из графов, представленных на рисунке, является гамильтоновым, полугамильтоновым (или, что то же самое, гамильтоновым циклом, гамильтоновой цепью).

9. Для графа, приведенного на рисунке найти кратчайший путь между вершинами a и b.

Рис.1 Рис.2 Рис.3

10. Какими свойствами обладает отношение связанности вершин н-графа на рисунке? Чему равно число связных компонент графа G?

Для четырех графов на рисунке определить расстояния между вершинами. Какие вершины являются центрами графов? Чему равны радиусы и диаметры графов?

2. Деревья, их свойства. Характеристические числа графов. Сети

Дерево – это связный ациклический граф.

Теорема 1

Граф G является деревом тогда и только тогда, когда любые 2 его вершины связаны единственной простой цепью.

Теорема 2

Граф G является деревом с n вершинами тогда и только тогда, когда у него ровно n-1 ребро.

Лес из k деревьев – это несвязный ациклический граф, содержащий ровно k компонент связности.

Теорема 3

Лес с n вершинами, состоящий из k деревьев, содержит ровно n-k ребер.

Остов графа G – это подграф графа G, который является деревом.

Концевая вершина дерева – вершина, локальная степень которой равна 1. Концевое ребро – ребро инцидентное концевой вершине.

Пусть дано дерево Т.

Назовем концевые вершины дерева Т вершинами типа 1.

Удалим из дерева Т все концевые ребра. Получим дерево Т1. Его концевые вершины назовем вершинами типа 2 (для исходного дерева Т ). Продолжаем процесс, пока не останутся вершины максимального типа. Их может быть 1 или 2.

Теорема 4

Центрами деревьев являются вершины максимального типа и только они. Все диаметральные цепи проходят через центры и имеют длину 2k–2, если центр 1; 2k–2, если центра 2.

Корнем дерева называется любая помеченная вершина.

Если в дереве определен корень, все ребра графа можно ориентировать (от корня). Причем, ребро (a, b) ориентируется от a к b, если цепь, связывающая корень с вершиной а не проходит через вершину b, и наоборот.

Ветвью вершины а называется подграф, порожденный множеством В(а) – вершин, связанных с корнем цепями, проходящими через вершину а.

Характеристические числа графа – это цикломатическое число, число внутренней устойчивости и число внешней устойчивости.

Цикломатическое число графа G находится по формуле:

.

Здесь – число ребер графаG; – число вершин;– число компонент связности.

Теорема 5

. Причем, если

, то граф не имеет циклов, то есть является деревом или лесом;

, то граф имеет ровно 1 цикл.

Число внутренней устойчивости графа G обозначается – это максимальное число несмежных вершин графа.

Множеством внешней устойчивости графа G (внешне устойчивым множеством) называется любое множество вершин Q такое, что из каждой вершины множества хотя бы одна дуга ведет в вершину множестваQ. Если граф неориентированный, то число внешней устойчивости ищется для канонически соответствующего ориентированного графа.

Число внешней устойчивости графа G обозначается – это мощность минимального внешне устойчивого множества.

Сетью называется любой частично-ориентированный граф S, некоторые вершины которого помечены.

Некоторые помеченные вершины называются входными полюсами, другие – выходными полюсами. Непомеченные вершины называются внутренними. Простая цепь, связывающая входной и выходной полюс будет называться цепью.

Если сеть содержит k входных и n выходных полюсов, то она называется (k, n)-полюсником.

Двухполюсной сетью называется сеть, являющаяся (1, 1)-полюсником.

Пусть дана частично ориентированная двухполюсная сеть. Пусть для каждого ребра сети определена пропускная способность ребра .

Потоком в сети называется пара объектов , где– некоторая ориентация неориентированных ребер сети,f = f(e), функция значения потока на ребре е, которая удовлетворяет следующим условиям:

1. ограничение:

2. для каждой внутренней вершины выполняется закон Киргоффа:

,

где – множество ребер выходящих из вершины,

где – множество ребер входящих в вершину.

Если – входной полюс сети, а– выходной полюс, то

.

Величиной потока в сети назовем число. Очевидно, что величина потока в сети зависит и от ориентации ребер, и от задания функцииf(e), то есть является величиной переменной.

Сечением в сети называется совокупность ребер, при удалении которых сеть становится несвязной. Сечение называется простым, если при удалении из него хотя бы одного ребра, оно перестает быть сечением.

Утверждение:

Для каждого ребра простого сечения найдется цепь, проходящая только через это ребро простого сечения.

Если эта цепь идет в направлении этого ребра, то оно называется прямым, если против направления ребра, то обратным. Неориентированные ребра цепи всегда прямые.

Пропускной способностью сечения W называется сумма W(c) пропускных способностей его прямых ребер.

Теорема Форда-Фалкерсона

Максимальная величина потока в сети равна минимальной пропускной способности его простых сечений.