§1.7. Эрмитовы (самосопряжённые) операторы.

Линейный оператор унитарного пространстваназываетсяэрмитовым (самосопряжённым), если

,

т. е. если линейный оператор совпадает со своим сопряжённым .

Если матрица в некотором ортонормированном базисе есть, то в матричной форме условие того, что операторявляется эрмитовым, выглядит следующим образом:. Такие матрицы называютсяэрмитовыми.

В действительном случае имеем: , т. е. матрица совпадает со своей транспонированной. Такие матрицы называютсясимметрическими. Поэтому в евклидовых пространствах эрмитовы операторы называют симметрическими.

ТЕОРЕМА. (основная об эрмитовых операторах). Матрица эрмитова оператора в подходящем ортонормированном базисе является диагональной с действительными числами по главной диагонали.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как эрмитов оператор является частным случаем нормального оператора, то по основной теореме о нормальных операторах, существует ортонормированный базис, в котором он задаётся диагональной матрицей. Докажем, что собственные значения действительны. Пусть, тогда

.

В силу того, что , имеем, а это возможно лишь в случае. □

§1.8. Кососимметрические операторы.

Линейный оператор унитарного пространстваназываетсякососимметрическим, если или

.

Если эрмитов оператор, токососимметрический. Действительно,. Обратно, есликососимметрический оператор, то, т. е.эрмитов оператор.

Если матрица в некотором ортонормированном базисе есть, то в матричной форме условие того, что операторявляется кососимметрическим, выглядит следующим образом:. Такие матрицы называютсякососимметрическими.

ТЕОРЕМА. (основная об кососимметрических операторах). В подходящем ортонормированном базисе матрица кососимметрического оператора будет диагональной, причём каждый диагональный элемент либо, либо чисто мнимое число.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как частный случай нормального оператора, то по основной теореме о нормальных операторах, достаточно показать, что собственные значения чисто мнимые числа (или 0).

Пусть , тогда

,

т. е. , поэтому, если, то. Откуда. □

§1.9. Неотрицательные линейные операторы.

Линейный оператор унитарного (или евклидова) пространстваназываетсянеотрицательным, если

и .

Если равенство выполняется лишь при условии , то такой оператор называетсяположительно определённым.

Отметим свойства неотрицательных линейных операторов.

Свойство 1. Линейная комбинация неотрицательных линейных операторов с действительными неотрицательными коэффициентами неотрицательна.

Действительно, . □

Свойство 2. Для любого линейного оператора оператор неотрицателен.

Действительно, . □

ЛЕММА. Все собственные значения неотрицательного линейного оператора действительны и неотрицательны.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если , то, т. е.и. □

ТЕОРЕМА. (основная о неотрицательных операторах). Самосопряжённый линейный оператор тогда и только тогда является положительно определённым, когда все его собственные значения неотрицательны.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В одну сторону доказательство следует из леммы. Обратно, пусть базис, составленный из собственных векторов самосопряжённого оператора , а соответствующие действительные собственные значения. Еслии, то