РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК

КАФЕДРА АЛГЕБРЫ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

Д. И. ИВАНОВ

АЛГЕБРА

(ЧАСТЬ II)

Учебно-методическое пособие

Тюмень

2009

УДК 512.8

Д. И. Иванов. Алгебра (часть II): Учебно-методическое пособие по дисциплине «Алгебра» для студентов специальности «Компьютерная безопасность». Тюмень: Печатник, 2009, 125 стр.

Данное пособие разработано в соответствии с государственным образовательным стандартом и учебным планом специальности «Компьютерная безопасность» (II семестр), содержит теоретическую часть и комплекс практических заданий.

Рекомендовано к печати Учебно-методической комиссией института математики и компьютерных наук. Одобрено Учебно-методической секцией Учёного совета Тюменского государственного университета.

ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: В. Н. Кутрунов, д. ф.-м. н., профессор.

РЕЦЕНЗЕНТЫ: А. Н. Дёгтев, д. ф.-м. н., профессор кафедры алгебры и математической логики Тюменского государственного университета.

С. Д. Захаров, к. ф.-м. н., зав. каф. математики информатики и естественных наук Тюменского государственного института мировой экономики управления и права.

© ГОУ ВПО Тюменский государственный университет, 2009

© Д. И. Иванов, 2009

Глава I. Линейные операторы в евклидовом и унитарном пространствах.

§1.1. Евклидовы и унитарные пространства.

Понятие мерного линейного пространства, данное в § 3.1 [1], далеко не в полной мере обобщает понятия плоскости или трехмерного евклидова пространства: вне определены ни длина вектора, ни угол между векторами. Поэтому невозможно развитие богатой геометрической теории. Оказывается, что положение может быть исправлено путем введения понятия скалярного умножения векторов. В курсе аналитической геометрии оно определяется при помощи длин векторов и угла между ними, но, как оказывается, и длина вектора, и угол между векторами в свою очередь могут быть выражены через скалярные произведения. Определим поэтому в любоммерном линейном пространстве понятие скалярного умножения, причем определим аксиоматически, при помощи некоторых свойств, которыми, как хорошо известно, скалярное умножение векторов плоскости или трехмерного пространства на самом деле обладает.

Будем говорить, что в мерном действительном линейном пространстве определено скалярное умножение, если всякой паре векторов поставлено в соответствие действительное число, обозначаемое символоми называемоескалярным произведением векторов и, причем выполняются следующие условия (здесь любые векторы пространства , любое действительное число):

I.

II.

III.

IV. Если , то скалярный квадрат векторастрого положителен,

Отметим, что из III при следует равенство

(1)

т. е. скалярное произведение нулевого вектора на любой вектор равно нулю;равен нулю, в частности, скалярный квадрат нулевого вектора.

Из II и III немедленно вытекает следующая формула для скалярного произведения и линейных комбинаций двух систем векторов:

Если в мерном действительном линейном пространстве определено скалярноеумножение, то это пространство называется мерным евклидовым пространством.

УТВЕРЖДЕНИЕ 1. При любом в мерном линейном пространстве можно определить скалярное умножение, т. е. можно превратить это пространство в евклидово.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В самом деле, возьмем в пространстве любой базис . Если

то положим

(2)

Легко проверяется, что условия I  IV будут выполнены, т. е. равенство (1) определяет в пространстве скалярное умножение. □

Мы видим, что в мерном линейном пространстве скалярное умножение можно задать, вообще говоря, многими различными способами определение (2) зависит, понятно, от выбора базиса, а мы пока не знаем, кроме того, нельзя ли ввести скалярное умножение и каким-либо принципиально иным способом. Нашей ближайшей целью является обозрение всех возможных способов превращения мерного действительного линейного пространства в евклидово пространство и установление того, что в некотором смысле для всякогосуществует одно-единственноемерное евклидово пространство.

Пусть дано произвольное мерное евклидово пространство, т. е. в мерном линейном пространстве произвольным способом введено скалярное умножение. Векторы и называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю,

Из (1) следует, что нулевой вектор ортогонален к любому вектору; могут существовать, однако, и ненулевые ортогональные векторы.

Система векторов называется ортогональной системой, если все векторы этой системы попарно ортогональны между собой.

ТЕОРЕМА 1. Всякая ортогональная система ненулевых векторов линейно независима.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть, в самом деле, в дана система векторов причеми

(3)

Если

то, скалярно умножая обе части этого равенства на вектор получаем:

Отсюда, так как поIV, вытекает что и требовалось доказать. □

Опишем далее так называемый процесс ортогонализации, т. е. некоторый способ перехода от любой линейно независимой системы из векторов евклидова пространствак ортогональной системе, также состоящей изненулевых лекторов; эти векторы будут обозначены через.

Положим , т. е. первый вектор системы () войдёт и в строящуюся нами ортогональную систему. Положим, далее,

Так как а векторы и линейно независимы, то векторотличен от нуля при любом числе. Подберем это число из условии, что вектор должен быть ортогонален к вектору:

откуда, ввиду IV,

Пусть уже построена ортогональная система ненулевых векторов ; дополнительно предположим, что для всякоговекторявляется линейной комбинацией векторовЭто предположение будет выполняться тогда и для вектораесли он будет выбран в виде

Вектор будет при этом отличен от нуля, так как система () линейно независимая, а векторне входит в записи векторов. Коэффициентыподберем из условия, что вектордолжен быть ортогонален ко всем векторам

отсюда, так как векторы ортогональны между собой,

т. е.

Продолжая этот процесс, мы построим искомую ортогональную систему .

Применяя процесс ортогонализации к произвольному базису пространства , мы получим ортогональную систему изненулевых векторов, т. е., так как эта система по доказанному линейно независима,ортогональный базис. При этом, используя замечание, сделанное в связи с первым шагом процесса ортогонализации, а, также учитывая, что всякий, ненулевой вектор можно включить в некоторый базис пространства, можно сформулировать даже следующее:

УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Всякое евклидово пространство обладает ортогональными базисами, причем любой ненулевой вектор этого пространства входит в состав некоторого ортогонального базиса. □

В дальнейшем важную роль будет играть один специальный вид ортогональных базисов; базисы этого вида соответствуют прямоугольным декартовым системам координат, используемым в аналитической геометрии.

Назовем вектор нормированным, если его скалярный квадрат равен единице, т. е.

Если , откуда , тонормированием вектора называется переход к вектору

Вектор будет нормированным, так как

Базис евклидова пространстваназываетсяортонормированным, если он ортогонален, а все его векторы нормированы, т. е.

(4)

Пример 1. Привести систему векторов

к ортонормированному виду.

Решение. Применим к указанным векторам процесс ортогонализации. Векторищем в виде

Подставляя значения, получим Далее ищемЗдесьПосле подстановки, имеем:

Осталось нормировать систему .

Итак, искомая ортонормированная система.

УТВЕРЖДЕНИЕ 3. Всякое евклидово пространство обладает ортонормированными базисами.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно взять любой ортогональный базис и нормировать все его векторы. Базис останется при этом ортогональным, так как при любых иизследует

□

ТЕОРЕМА 2. Базис евклидова пространства тогда и только тогда будет ортонормированным, если скалярное произведение любых двух векторов пространства равно сумме произведений соответственных координат этих векторов в указанном базисе, т. е. из

(5)

следует

(6)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, если для нашего базиса выполняются равенства (4), то

Обратно, если наш базис таков, что для любых векторов и , записанных в этом базисе в виде (5), справедливо равенство (6), то, беря и качестве илюбые два вектора этого базисаи, различные или одинаковые, мы из (6) выведем равенства (4). □

Сопоставляя полученный сейчас результат с изложенным ранее доказательством существования мерных евклидовых пространств для любого, можно высказать следующее:

УТВЕРЖДЕНИЕ 4. Если в мерном линейном пространстве выбран произвольный базис, то вможно так задать скалярное умножение, что в полученном евклидовом пространстве выбранный базис будет одним из ортонормированных.□

Евклидовы пространства и называются изоморфными, если между векторами этих пространств можно установить такое взаимно однозначное соответствие, что выполняются следующие требования:

1. это соответствие является изоморфным соответствием между и, рассматриваемыми как линейные пространства;

2. при этом соответствии сохраняется скалярное произведение; иными словами, если образами векторов иизслужат соответственно векторыииз, то

(7)

Из условия 1) сразу следует, что изоморфные евклидовы пространства имеют одну и ту же размерность. Докажем обратное утверждение:

ТЕОРЕМА 3. Любые евклидовы пространства и , имеющие одну и ту же размерность , изоморфны между собой.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В самом деле, выберем в пространствах иортонормированныебазисы и, соответственно,.

Ставя в соответствие всякому вектору извекториз, имеющий в базисете же координаты, что и векторв базисе, мы получим, очевидно, изоморфное соответствие между линейными пространствамии. Покажем, что выполняется и равенство (7): если

то, в силу (6):

.□

Естественно изоморфные евклидовы пространства не считать различными. Поэтому для всякого существует единственное мерное евклидово пространство в том же смысле, в каком для всякогосуществует единственноемерное действительное линейное пространство.

На случай комплексных линейных пространств понятия и результаты настоящего параграфа переносятся следующим образом. Комплексное линейное пространство называется унитарным пространством, если в нем задано скалярное умножение, причем будет комплексным числом; при этом должны выполняться аксиомы II  IV, а аксиома I заменяется следующей аксиомой:

I '.

где черта над скалярным произведением обозначает, как обычно, переход к сопряженному комплексному числу. Следовательно, скалярное произведение в унитарном пространстве не будет коммутативным. Тем не менее, равенство, симметричное аксиоме II, остается справедливым.

II '.

так как

III '.

так как

IV '. Скалярный квадрат ненулевого вектора комплексного линейного пространства действителен и строго положителен,

Понятия ортогональности и ортонормированной системы векторов переносятся на случай унитарных пространств без всяких изменений. Как и выше, доказывается существование ортонормированных базисов во всяком конечномерном унитарном пространстве. При этом, однако, если ортонормированный базис и векторыимеют в этом базисе разложение, то

Пусть элемент унитарного пространства. Числоназываетсядлиной вектора в этом пространстве. Только нулевой вектор имеет длину, равную нулю.

ТЕОРЕМА 4. Для любых двух векторов мерного унитарного пространства имеет место неравенство Коши  Буняковского

причем равенство достигается лишь в случае, когда векторы илинейно зависимые.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно доказать это неравенство для векторов, отличных от нуля. Рассмотрим . Преобразовывая левую часть, получим

.

Положим , после подстановки в неравенство и домножения на, получим

.

Учитывая, что , имеем

.

Если , т. е. и линейно зависимые, то имеет место равенство. Равенство достигается и в том случае, когда один из векторов нулевой (в этом случае система так же линейно зависима). □

Из неравенства Коши  Буняковского легко вытекает так называемое «неравенство треугольника для векторов», а именно:

.

Действительно,

,

где целая часть комплексного числа. Так как

, то

. □

Величиной угла между двумя отличными от нуля векторами и в мерномевклидовом пространстве называется число ,, определенное условием

Из неравенства Коши  Буняковского следует, что угол (в пределах ) однозначно определен. При этом (т. е. векторыиперпендикулярны или ортогональны между собой) тогда и только тогда, когда .