§3.1. Матрицы, их эквивалентность.

В этой главе займёмся изучением квадратных матриц порядка , элементами которых служат многочлены произвольных степеней от одного неизвестногос коэффициентами из поля. Такие матрицы называютсямногочленными матрицами или полиномиальными матрицами, или, короче, матрицами. Примером матрицы может служить характеристическая матрицапроизвольной квадратной матрицыс элементами из поля; на главной диагонали этой матрицы стоят многочлены первой степени, вне главной диагоналимногочлены нулевой степени или нули. Всякая матрица с элементами из полятакже будет частным случаемматрицы. Такие матрицы для краткости будем называть числовыми матрицами, ее элементы являются многочленами нулевой степени или нулями. В общем случаематрица выглядит следующим образом:

Назовем элементарными преобразованиями этой матрицы преобразования следующих двух типов:

1) умножение любой строки (столбца) матрицы на любое числоиз поля, отличное от нуля;

2) прибавление к любой ой строке (ому столбцу) матрицылюбой еёой строки (ого столбца),, притом умноженной (умноженного) на любой многочлениз кольца.

Легко видеть, что для каждого из элементарных преобразований матрицы существует обратное преобразование, также являющееся элементарным. Так, обратным для преобразования 1) будет элементарное преобразование, состоящее в умножении той же строки (столбца) на число , существующее ввиду условия; а обратным для преобразования 2) будет преобразование, состоящее в прибавлении кой строке (ому столбцу)ой строки (ого столбца), умноженной (умноженного) на.

УТВЕРЖДЕНИЕ 1. В матрице можно при помощи нескольких элементарных преобразований переставить любые две строки или любые два столбца.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть, например, нужно переставить ую иую строки матрицы . Это можно сделать при помощи четырех элементарных преобразований, как показывает следующая схема:

Здесь последовательно были выполнены следующие преобразования

a) к ой строке прибавленаая;b) из ой строки вычтена новаяая;c) к новой ой строке прибавлена новаяая;d) новая ая строка умножена на. □

Будем говорить, что матрицыиэквивалентны, и записывать , если от матрицыможно перейти к матрицепри помощи конечного числа элементарных преобразований. Отношениеявляется, очевидно, рефлексивным и транзитивным, а также и симметричным ввиду существования для каждого элементарного преобразования обратного элементарного преобразования, т. е. является отношением эквивалентности. Таким образом, все квадратныематрицы порядканад полемраспадаются на непересекающиеся классы эквивалентных матриц. Нашей ближайшей целью является разыскание среди всехматриц, эквивалентных данной матрице, наиболее простого представителя класса эквивалентности. Для этого введем следующее понятие.Канонической матрицей называется матрица, обладающая следующими тремя свойствами:

а) эта матрица диагональная, т. е. имеет вид

; (1)

б) всякий многочлен , нацело делится на многочлен;

в) старший коэффициент каждого многочлена , равен единице, если этот многочлен отличен от нуля.

Отметим, что если среди многочленов , стоящих на главной диагонали каноническойматрицы (1) ,встречаются равные нулю, то, ввиду свойства б), они непременно занимают на главной диагонали последние места. С другой стороны, если среди многочленоввстречаются многочлены нулевой степени, то, по свойству в), все они равныи, по свойству б), занимают на главной диагонали матрицы (1) первые места.

К числу канонических матриц принадлежат, в частности, некоторые числовые матрицы, в том числе матрицы единичная и нулевая.

ТЕОРЕМА 1. (о канонической матрице). Всякую матрицу с помощью элементарных преобразований можно привести к каноническому виду.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Будем доказывать теорему индукцией по порядку рассматриваемыхматриц. Действительно, прибудет

.

Если то матрица уже каноническая. Если же, то достаточно умножить многочленна элемент, обратный для его старшего коэффициента, (а это будет элементарное преобразование матрицы) получим канонический вид.

Пусть теорема уже доказана для матриц порядка. Рассмотрим произвольнуюматрицупорядка. Если она нулевая, то уже является канонической. Будем считать, что среди элементов матрицыимеются ненулевые.

Переставляя, если понадобится, строки и столбцы матрицы можно добиться того, чтобы один из ненулевых элементов располагался в левом верхнем углу. Рассмотрим все такие матрицы. Многочлены, стоящие в левом верхнем углу этих матриц, могут иметь разные степени. Степень многочлена является натуральным числом, значит можно найти среди всехматриц, эквивалентных матрицеи имеющих ненулевой элемент в левом верхнем углу, такую (одну из таких), что многочлен, стоящий в ее левом верхнем углу, имеет наименьшую возможную степень. Деля первую строку этой матрицы на старший коэффициент указанного многочлена, мы получимматрицу, эквивалентную матрице,

что , старший коэффициент этого многочлена равен, и невозможно с помощью элементарных преобразований перейти от полученной матрицы к такой матрице, в левом верхнем углу которой стоял бы ненулевой многочлен меньшей степени.

Докажем теперь, что все элементы первой строки и первого столбца полученной матрицы нацело делятся на . Пусть, например, для

,

где степень меньше степени, еслиотлично от нуля. Тогда, вычитая изого столбца нашей матрицы ее первый столбец, умноженный на, а затем, переставляя первый иый столбцы, придем к такой матрице, эквивалентной матрице, в левом верхнем углу которой стоит многочлен, т. е. многочлен меньшей степени, чем, что противоречит выбору этого многочлена. Отсюда следует.

Вычитая теперь из ого столбца матрицы ее первый столбец, умноженный на, заменим элементнулем. Делая такие преобразования для, заменим нулями все элементы. Аналогично заменяются нулями и все элементы,. Таким образом получим матрицу, эквивалентную матрице, в левом верхнем углу которой стоит многочлен, а все остальные элементы первой строки и первого столбца равны нулю, т. е.

. (2)

По индуктивному предположению, матрица ого порядка, стоящая в правом нижнем углу полученной матрицы (2), элементарными преобразованиями приводится к каноническому виду:

.

Совершив эти же преобразования над соответствующими строками и столбцами матрицы (2) при этом первая строка и первый столбец этой матрицы останутся, очевидно, без изменения,мы получим, что,

. (3)

Для доказательства того, что матрица (3) является канонической, покажем, что нацело делится на. Пусть

,

где и степеньменьше степени. Прибавляя ко второму столбцу матрицы (3) ее первый столбец, умноженный на, а затем вычитая из второй строки первую строку, мы заменим элементэлементом. Переставляя, далее, первые две строки и первые два столбца, мы переместим многочленв левый верхний угол матрицы, что противоречит выбору многочлена. □

Пусть дана произвольная матрицапорядка. Фиксируем некоторое натуральное числои рассмотрим все минорыого порядка матрицы. Вычисляя эти миноры, получим конечную систему многочленов от; наибольший общий делитель этой системы многочленов, взятый со старшим коэффициентом, обозначим через.

Получим многочлены

, (4)

однозначно определяемые самой матрицей .

При этом есть наибольший общий делитель всех элементов матрицы, взятый с коэффициентом 1,a равен определителю матрицы, деленному на его старший коэффициент.

Заметим также, что если матрица имеет ранг, то

,

в то время как все остальные многочлены системы (4) отличны от нуля.

ТЕОРЕМА 2. (о НОДах эквивалентных матриц). Наибольший общий делитель всех миноров ого порядкаматрицы , , не меняется при выполнении в матрице элементарных преобразований.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Утверждение почти очевидно для того случая, когда в матрице выполняется элементарное преобразование типа 1). Так, например, еслиая строка матрицы умножается на числоиз поля,, то те минорыого порядка, через которыеая строка проходит, будут умножаться на, все же остальные минорыого порядка останутся без изменения. Однако при разыскании наибольшего общего делителя нескольких многочленов любые из этих многочленов можно беспрепятственно умножать на отличные от нуля числа из поля(§4.4 ).

Рассмотрим теперь элементарные преобразования типа 2). Пусть, например, к ой строке, матрицыприбавляется ееая строка,, умноженная на многочлен. Получающуюся после этого преобразования матрицу обозначим через, а наибольший общий делитель всех ее минорового порядка, взятый со старшим коэффициентом,через. Посмотрим, что происходит при указанном преобразовании с минорамиого порядка матрицы.

Ясно, что не будут меняться те миноры, через которые ая строка не проходит. Не меняются и те миноры, через которые проходят какая, так иая строки, так как определитель не меняется от прибавления к одной его строке кратного другой его строки. Возьмем, наконец, любой из тех минорового порядка, через которые проходитая строка, но не проходитая; обозначим его через. Соответствующий минор матрицыможно представить, очевидно, как сумму минораи умноженного наминораматрицы, получающегося из миноразаменой элементовой строки матрицысоответствующими элементами ееой строки. Так как и, иделятся на, то ибудет делиться на.

Отсюда следует, что все миноры ого порядка матрицынацело делятся на, а поэтому иделится на.Так как, однако, для рассматриваемого элементарного преобразования существует обратное элементарное преобразование того же типа, то иделится на. Если же учесть, что старшие коэффициенты обоих этих многочленов равны, то. □

СЛЕДСТВИЕ. Всем матрицам, эквивалентным матрице , соответствует один и тот же набор многочленов (4). □

Это относится, в частности, к любой (если их несколько) канонической матрице, эквивалентной . Пусть (3) будет одна из таких матриц.

Вычислим многочлен ,, пользуясь матрицей (3). Ясно, что минорого порядка, стоящий в левом верхнем углу этой матрицы, равен произведению

(5)

Если, далее, берем в матрице (3) минор ого порядка, стоящий в строках с номерами, где, и в столбцах с теми же самыми номерами, то этот минор равен произведению, которое делится на (5), т. к.и поэтомуделится на. Наконец, если в матрице (3) взят минорого порядка, через который хотя бы для одногопроходитая строка этой матрицы, но не проходит ееый столбец, то этот минор содержит нулевую строку и поэтому равен нулю.

Из сказанного следует, что произведение (5) и будет наибольшим общим делителей всех миноров k-го порядка матрицы (3), а поэтому и исходной матрицы , т. е.

. (6)

ТЕОРЕМА 3. Всякая матрица эквивалентна лишь одной канонической матрице.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Покажем, что многочлены ,, однозначным образом определяются самой матрицей. Пусть ранг этой матрицы равен . Тогда, как известно, , но, а поэтому, ввиду (6),. Отсюда, ввиду свойств канонической матрицы, вообще следует, что если рангматрицыменьше, то

. (7)

А для из (6) следует, ввиду, что

. □ (8)

Тем самым мы получили способ непосредственного разыскания многочленов , называемыхинвариантными множителями матрицы .

Анализируя вышесказанное, можем сформулировать основной результат данного параграфа.

ТЕОРЕМА 4. (первый критерий эквивалентности матриц).Две матрицы эквивалентны тогда и только тогда, когда они приводятся к одному и тому же каноническому виду. □

Пример 1. Привести к каноническому виду матрицу

.

Решение. Выполняя цепочку элементарных преобразований, получаем;

.

С другой стороны, можно вычислить инвариантные множители матрицы . Именно, вычисляя наибольший общий делитель элементов этой матрицы, получаем:

.

Вычисляя же определитель матрицы и замечая, что его старший коэффициент равен, получаем:

.

а поэтому

.