§ 3.7. Минимальный многочлен.

Пусть дана квадратная матрица порядкас элементами из поля. Если

произвольный многочлен из кольца , то матрица

будет называться значением многочлена при.

Нетрудно проверить, что если или , то и, соответственно,.

Если многочлен аннулируется матрицей , т. е., то матрицубудем называтьматричным корнем многочлена .

УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Всякая матрица служит корнем некоторого ненулевого многочлена.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Известно, что все квадратные матрицы порядка составляют над полеммерное векторное пространство. Отсюда следует, что система изматриц

линейно зависима над полем , т. е. всуществуют такие элементы , не все равные нулю, что

.

Таким образом, матрица оказалась корнем ненулевого многочлена

,

степень которого не превосходит . □

Матрица является корнем и для некоторых таких многочленов, старшие коэффициенты которых равны единице достаточно взять любой ненулевой многочлен, аннулируемый матрицей , и разделить этот многочлен на его старший коэффициент. Многочлен наименьшей степени со старшим коэффициентом , аннулируемый, матрицей , называется минимальным многочленом матрицы . Заметим, что минимальный многочлен матрицы определен однозначно, так как разность двух таких многочленов имела бы меньшую степень, чем каждый из них, но также аннулировалась бы матрицей .

УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Всякий многочлен , аннулируемый матрицей, делится нацело на минимальный многочленэтой матрицы.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Разделим на с остатком

,

тогда

и из того, что следует, но степеньменьше степени, что противоречит определению минимального многочлена. □

Для доказательства основной теоремы данного параграфа потребуется вспомогательное утверждение.

ЛЕММА. Пусть

, . (1)

Если

(2)

то

(3)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно доказать хотя бы первое из двух утверждений леммы второе доказывается аналогично. Доказательство состоит в непосредственной проверке справедливости равенства (2), если многочленбудет заменен его записью (1), вместо будет подставлено (3), а в качестве будет взят многочлен

ТЕОРЕМА 1. Минимальный многочлен матрицы совпадает с последним инвариантным множителемхарактеристической матрицы.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Как следует из § 3.1

. (4)

Значит, многочлены ине будут нулевыми. Обозначим, далее, черезматрицу, составленную из алгебраических дополнений матрицы, причём алгебраические дополнения элементов каждой строки располагаются в соответствующем столбце.

Тогда справедливо равенство

. (5)

С другой стороны, так как элементами матрицы служат взятые со знаками плюс или минус минорыго порядка матрицыи только они, а многочленесть общий наибольший делитель всех этих миноров, то

, (6)

причем наибольший общий делитель элементов матрицы равен .

Из равенств (5), (6) и (4) вытекает равенство

.

Это равенство можно сократить на ненулевой множитель . Таким образом,

,

откуда

. (7)

Это равенство показывает, что остаток от деления матрицыслева, на двучленравен нулю. Из леммы вытекает, что этот остаток равен матрице. Действительно, матрицаможет быть записана как матричныймногочлен, коэффициенты которого являются скалярными матрицами, т. е. перестановочные с матрицей. Таким образом , т. е. многочлен действительно аннулируется матрицей.

Отсюда следует, что многочлен нацело делится на минимальныймногочлен матрицы,

. (8)

Ясно, что старший коэффициент многочлена равен единице.

Так как , то по лемме остаток от левого деленияматрицына двучленравен нулю, т. е.

. (9)

Равенства (8), (7) и (9) приводят к равенству

.

Обе части этого равенства можно сократить на общий множитель , так как старший коэффициентэтого матричногомногочлена является невырожденной матрицей. Таким образом,

.

Мы помним, однако, что наибольший общий делитель элементов матрицы равен . Поэтому многочлендолжен иметь нулевую степень, а так как его старший коэффициент равен, то. Таким образом, ввиду (8),что и требовалось доказать. □

Так как, ввиду (4), характеристический многочлен матрицы нацело делится на многочлен, то из доказанной сейчас теоремы вытекает следующая

ТЕОРЕМА 2 (Гамильтона Кэли).Всякая матрица является корнем своего характеристического многочлена. □

ТЕОРЕМА 3. Если матрицы иподобны и если многочленаннулируется матрицей, то он аннулируется и матрицей.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, пусть .

Если

, то

.

Трансформируя обе части этого равенства матрицей , получаем:

т.е. . □

СЛЕДСТВИЕ. Подобные матрицы обладают одним и тем же минимальным многочленом. □

Пусть теперь линейный оператор вмерном линейном пространстве над полем. Матрицы, задающие этот оператор в разных базисах пространства, подобны между собой. Общий минимальный многочлен этих матриц называетсяминимальным многочленом линейного оператора .

Используя операции над линейными операторами [2] можно ввести понятие значения многочлена

из кольца при, равном линейному оператору: это

будет линейный оператор

,

где тождественный оператор.

Будем говорить, что многочлен аннулируется линейным оператором , если , где нулевой оператор.

Учитывая связь между операциями над линейными операторами и над матрицами можно доказать следующее утверждение.

ТЕОРЕМА 4. Минимальный многочлен линейного оператора является тем однозначно определенным многочленом наименьшей степени со старшим коэффициентом, который аннулируется оператором. □

После этого результаты, полученные выше, в частности теорема Гамильтона Кэли, могут быть переформулированы на языке линейных операторов.

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ III.

22. Привести следующие матрицы к нормальной диагональной форме посредством элементарных преобразований:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

23. Привести следующие матрицы к нормальной диагональной форме методом нахождения делителей миноров:

а)

б)

в)

24. Привести следующие матрицы к нормальной диагональной форме используя комбинированный метод:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

25. Выяснить, эквивалентны ли между собой следующие матрицы:

а)

б)

в)

26. Найти элементарные делители следующих матриц:

а)

б)

в)

27. Найти нормальную диагональную форму квадратной матрицы, если известны её элементарные делители, ранги порядок:

а)

б)

в)

28. Выяснить, являются ли подобными между собой следующие матрицы:

а)

б)

в)

г)

29.

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

к)

л)

м)

н)

о)

п)

30. Выяснить, являются ли следующие матрицы подобными некоторым диагональным матрицам в полях рациональных, вещественных и комплексных чисел:

а)

б)

в)

г)

31. Найти минимальные многочлены следующих матриц:

а)

б)

ОТВЕТЫ.

1.

а) да;

б) нет;

в) да;

г) да;

д) нет.

2.

а) да;

б) нет;

в) да;

г) да;

д) нет;

е) нет;

ж) да.

3.

а) нет;

б) да;

в) да;

г) нет;

д) да;

е) нет;

ж) да.

4.

а) ;

б) ;

в) .

5.

а) ;

б) .

6.

а) ;

б) ;

в) .

7.

а) нет;

б) да,

в) да,

г) нет;

д) да,

е) да,

8. .

9.

а) нет;

б) да;

в) да.

10. Диагональная матрица является ортогональной тогда и только тогда, когда каждый диагональный элемент равен .

11.

а)

б)

в)

12.

а) нет;

б) да;

в) нет;

г) да.

13.

а)

б) ни при каком

14.

а)

б)

в)

15.

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

к)

16.

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

17.

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

18. Ответ определяется неоднозначно.

а)

б)

в)

г)

д)

е)

19. Ответ определяется неоднозначно.

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

к)

л)

м)

20.

а) положительно определённая;

б) не является знакоопределённой;

в) не является знакоопределённой;

г) положительно определённая;

д) отрицательно определённая;

е) не является знакоопределённой.

21.

а) для любого ;

б) ни при каком значении ;

в) ;

г) ;

д) ни при каком значении ;

е) ;

ж) .

22.

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

23.

а)

б)

в)

24.

а)

б)

в) гдепорядок данной матрицы.

г)

д)

е)

25.

а) эквивалентны;

б) не эквивалентны;

в) матрицы иэквивалентны между собой и не эквивалентны матрице.

26.

а)

б)

в) элементарных делителей не существует.

27.

а)

б)

в)

28.

а) подобны;

б) подобны;

в) матрицы иподобны между собой, но не подобны матрице;

г) матрицы иподобны между собой, но не подобны матрице.

29.

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

к)

л)

м)

н)

о)

п)

30.

а) в поле рациональных чисел подобна матрице

б) в поле вещественных чисел подобна матрице

в) в поле комплексных чисел подобна матрице

г) не подобна диагональной матрице ни в каком поле.

31.

а)

б)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.

1. Апатенок Р. Ф., Маркина Л. М., Хейнман В. Б. Сборник задач по линейной алгебре и аналитической геометрии.  Минск: Высшая школа, 1990.

2. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учеб.: Для ВУЗов.  М.: Физматлит, 2001.

3. Курош А. Г. Курс высшей алгебры.  М.: Наука, 1971.

4. Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре.  М.: Наука, 1984.

5. Шипачёв В. С. Задачник по высшей математике: Учеб. пособие для ВУЗов.  М.: Высшая школа, 2002.

СОДЕРЖАНИЕ.