§2.6. Пары форм.

Пусть дана пара действительных квадратичных форм от неизвестных, и .Существует ли такое невырожденное линейное преобразование неизвестных ,которое одновременно приводило бы обе эти формы к каноническому виду?

В общем случае ответ будет отрицательным. Рассмотрим, например, пару форм

.

Пусть существует невырожденное линейное преобразование

приводящее обе эти формы к каноническому виду. Для того чтобы форма могла быть приведена указанным преобразованием к каноническому виду, один из коэффициентовдолжен быть равен нулю, иначе вошло бы слагаемое. Меняя, если нужно, нумерацию неизвестных, можно положить, чтои поэтому . Мы получим теперь, однако, что

.

Так как форма также должна была перейти в канонический вид, то, т. е. , что вместе с противоречит невырожденности указанного линейного преобразования.

Ситуация будет иной, если мы положим, что хотя бы одна из наших форм, например ,является положительно определенной.

ТЕОРЕМА. Если и пара действительных квадратичных форм отнеизвестных, причем вторая из них положительно определенная, то существует невырожденное линейное преобразование, одновременно приводящее формук нормальному виду, а форму к каноническому виду.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выполним сначала невырожденное линейное преобразование неизвестных ,

,

приводящее положительно определенную форму к нормальному виду,

.

Форма перейдет при этом в некоторую формуот новых неизвестных,

.

Совершим теперь ортогональное преобразование неизвестных ,

,

приводящее форму к главным осям,

.

Это преобразование переводит сумму квадратов неизвестных в сумму квадратов неизвестных (что следует из формулы).В результате мы получаем

,

.

т. е. линейное преобразование

является искомым. □

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ II.

15. Записать матрицу квадратичной формы , если:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;

з) ;

и) ;

к) .

16. Записать квадратичную форму в видепо заданной матрице, если:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

17. Определить ранг квадратичной формы , если:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

18. Привести к каноническому виду квадратичную форму и найти выражение новых неизвестных через старые, если:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

19. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду (приведение к главным осям), и написать этот канонический вид, если:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;

з) ;

и) ;

к) ;

л) ;

м) .

20. Исследовать на знакоопределённость каждую из данных квадратичных форм:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

21. Исследовать, при каких значениях является знакоопределённой каждая из данных квадратичных форм:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) .

Глава III. Жорданова нормальная форма матрицы.