§ 3.6. Приведение матрицы к жордановой нормальной форме.

В предыдущем параграфе мы выяснили, что если матрица с элементами из поляприводится к жордановой нормальной форме, то эта форма определяется для матрицыоднозначно с точностью до расположения жордановых клеток на главной диагонали. В этом параграфе мы укажем условие того, чтобы матрицадопускала такое приведение, а так же способ практического разыскания жордановой матрицы, подобной матрице, если такая жорданова матрица существует.

ТЕОРЕМА 1. Матрица с элементами из полятогда и только тогда приводится в полек жордановой нормальной форме, если все характеристические корни матрицылежат в самом основном поле.

В самом деле, если матрица подобна жордановой матрице, то эти две матрицы обладают одними и теми же характеристическими корнями. Характеристические корни матрицынаходятся, однако, без всяких затруднений: так как определитель матрицыравен произведению ее элементов, стоящих на главной диагонали, то многочленразлагается над полемна линейные множители и его корнями служат числа, стоящие на главной диагонали матрицы, и только они.

Обратно, пусть все характеристические корни матрицы лежат в самом поле. Если отличные отинвариантные множители матрицыбудут

, (10)

то

.

Действительно, определители матрицы и ее канонической матрицы могут отличаться друг от друга лишь постоянным множителем, который на самом деле равен, так как именно таков старший коэффициент характеристического многочлена. Таким образом, среди многочленов (10) нет равных нулю, сумма степеней этих многочленов равнаи все они разлагаются над полемна линейные множителипоследнее ввиду того, что, по условию, многочленобладает таким разложением.

Пусть (8) будут разложения многочленов (10) в произведения степеней линейных множителей. Назовем элементарными делителями многочлена , отличные от единицы степени различных линейных двучленов, входящие в его разложение (8), т. е.

Элементарные делители всех многочленов (10) назовем элементарными делителями матрицы и выпишем их в виде таблицы (7).

Возьмем теперь жорданову матрицу порядка, составленную из жордановых клеток, определяемых следующим образом: каждому элементарному делителюматрицыставим в соответствие жорданову клетку порядка, относящуюся к числу. Очевидно, что отличными отинвариантными множителями матрицыбудут многочлены (10) и только они. Поэтому матрицыиэквивалентны и, следовательно, матрицаподобна жордановой матрице. □

Пример 5. Найти жорданову нормальную форму матрицы

Решение. Приводя обычным способом матрицу к каноническому виду, получим, что отличными от единицы инвариантными множителями этой матрицы будут многочлены

Мы видим, что матрица приводится к жордановой нормальной форме далее в поле рациональных чисел. Ее элементарными делителями являются многочленыи, а поэтому жордановой нормальной формой матрицыслужит матрица

.

На основании предшествующих результатов может быть доказано, наконец, следующее необходимое и достаточное условие приводимости матрицы к диагональному виду.

ТЕОРЕМА 2. Матрица порядкас элементами из полятогда и только тогда приводится к диагональному виду, если все корни последнего инвариантного множителяее характеристической матрицы лежат в поле, причем среди этих корней нет кратных.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В самом деле, приводимость матрицы к диагональному виду равносильна приводимости к такому жорданову виду, все жордановы клетки которого имеют порядок . Иными словами, все элементарные делители матрицыдолжны быть многочленами первой степени. Так как, однако, все инвариантные множители матрицыявляются делителями многочлена, то последнее условие равносильно тому, что все элементарные делители многочленаимеют степень, что и требовалось доказать. □