Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Государственный аграрный университет Северного Зауралья

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика 3 семестр

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.04.2015

Размер:

2.31 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

Задача 4. Найти частное решение

ДУ	3	y 2x
	3

y 1 2

y 1 4 y 1 2

при начальных условиях:

Решение: 1) Проинтегрируем данное

y				2xdx x					2			1
y				2xdx x					2	C
												x	3
y	\|		(x			2	C	)dx				x		c x c
	\|					2
																		2
							\|					3			1			2
												3
		x			3										x	4	c x		2
y							c x c					dx							c x
																		1
				3			1				2				12			2		2
				3											12			2

уравнение последовательно три раза.

(1)

	(2)
c3	(3)- общее решение.

2) Найдём частное решение, подставив соответствующие начальные условия

в (1), (2), (3).

(1)										2	С,	C1	3
(1)								2 1			С,	C1	3
	3								1			2
4	1	с	1 с		,	c		4	1	3 6		2
4		с	1 с	2	,	c	2	4		3 6
	3	1		2			2		3			3
	3								3			3

					4	( 3)
(3)			2		1	( 3)
(3)			2		12	2
					12	2
c		24 1 18	7	;
c	3	12	12	;
	3

Тогда частное решение имеет вид:

6	2	1	c3	,	c3	2	1	3	4	,
	3						12	2

x	4	3x	2	2		7
			6		x		;
12		2		3		12

(2)

Задача 5. Дано уравнение: (x²+1) y"= 2xy'. Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: y(0)= 1; y'(0)=3.

Решение: Данное дифференциальное уравнение второго порядка не содержит явно функцию y. Положим y'=p, где p- некоторая функция аргумента x. Если y'=p, то y"=dp/dx и

данное уравнение примет вид

x 2 1

2xp. Мы получили уравнение первого порядка

относительно переменных p и x.

Решим это уравнение:

2xdx

;

2xdx

; ln p ln x2 1 lnC ,

x 2 1


откуда p C1 x	2	1 или y	C1 x		2	1 .


Определим	численное		значение				C1	при указанных начальных условиях. Имеем
3 C1 0 1 . Следовательно, C1				3		. Теперь решаем уравнение первого порядка y'=3(x²+1):

dy= 3(x²+1)dx;

y 3		x 2

1 dx x	3

C	2

Определим

1 0 0 C	2

численное

; C2

1 .

значение

C	2

при

указанных начальных условиях. Имеем

Таким образом, y=x³+3x+1 есть частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

Задача 6. Дано уравнение 2 yy"= (y')². Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям: y(-1)=4; y'(-1)=1.

Решение: Данное уравнение второго порядка не содержит явно аргумента x. Положим

y'=p,

где

p-некоторая

функция

переменной

Если

y'=p,

то

y p

Тогда данное уравнение примет вид:

2 yp	dp	p	2	;

	dy

2 yp	dp	p	2	0;

	dy

	2 y	dp		0.
p	2 y		p	0.
		dy
		dy

Если приравнять нулю первый множитель,

данного уравнения.

Приравняем нулю второй множитель:

2 y	dp	p 0;	dp		dy	;
2 y	dy	p 0;	p		2 y	;
	dy		p		2 y
		p C	y	, или
		1		, или

Используя начальные условия, находим C1 :

то получаем: p=0; y'=0; y=C - решение

ln p 12 ln y ln C1 ;

y C1 y.

1 C		C	1	.
	4 ;		1
	4 ;
1		1	2
			2

Далее решаем уравнение

y			1		y :
y			2		y :
			2
	dy			1			1	x c
	dy			1	dx;	2 y	1
				2	dx;	2 y
		y					2	2
		y					2

		: 2		1	( 1) С						9	.
Теперь определим значение C	2		4			2	;	С	2
		2								2

Тогда

2	y	1	x	9	;
		2		2

y1 (x 9) 4

y	1	(x 9)	2

	16

- искомое

частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

Задача 7. Решить систему уравнений и выделить частные решения, удовлетворяющие заданным начальным условиям:

dx		x 6 y,
dt		x 6 y,
dt
	dy			x 0 1, y 0 1
	dy	x 3t 0,5	,
		x 3t 0,5	,

dt

Решение. Обе части первого уравнения системы продифференцируем по переменной t:

В полученном уравнении заменим

d	2	x

dt		2

dy
dt

dx 6 dy . dt dt

правой частью второго уравнения системы. В

результате получим неоднородное линейное уравнение второго порядка:

d	2	x	dx
				6x 18t 3.
dt		2	dt

(1)

Составим и решим соответствующее однородное линейное уравнение:

d	2	x	dx
				6x 0
dt		2	dt

(2)

Характеристическое уравнение k²-k-6=0 имеем корни:

общее решение (2) имеет вид:

X		C e	2t	C	e	3t
	одн
		1		2

k	2, k	2
1		2

Следовательно,

Находим		частное		решение	x At B
		0	. Подставив в (1),		находим
x A,	x	0	. Подставив в (1),		находим
x C e 2t C		e3t	3t .	(3)
1	2

Из первого уравнения системы находим, что

6 y

. Дважды дифференцируя,

A=-3 и B=0. Следовательно,

		dx	x, или
		dt

получим

x 3t

6y 2C1e	2t	3C2e		3t	3 C2e	3t	3t ,
6y 2C1e		3C2e			3 C2e		3t ,
			откуда		6y=-3C1e-2t +2C23t+3t-3.			(4)
Подставив			начальные условия в (3) и (4),					получим систему:	C1 C2	1 и
3C1 2C2 3 .

Решение этой

y	1	e	2t	t 1

	2

системы даёт	C1	1	и	C2	0 .	Следовательно,	x e	2t	3t	и

- частные решения, удовлетворяющие заданным начальным условиям.

7.4 Вопросы для самоконтроля

Какое уравнение называется дифференциальным?

Как определяется порядок уравнения? Примеры.

Что значит решить ДУ1 ?

Какая функция называется решением ДУ1 ?

Какое решение называется общим, частным?

Как найти частное решение ДУ1 по начальным условиям? Записать план операций,

выполняемых при решении на примере y'-2x=0 при начальных условиях y(-2)=4.

Сформулировать геометрический смысл общего и частного решения	ДУ1 .
Дайте определение ДУ 2 и общего решения этого уравнения. Пример.

9.Изложить план выполнения операции при решении уравнений второго порядка.

10.Дать определение линейного дифференциального уравнения 2-го порядка. Привести пример.

11.	Как решается ЛОДУ2 с постоянными коэффициентами (описать способ решения).
12.	Какой вид имеет общее решение линейного уравнения второго порядка без правой
	части (с постоянными коэффициентами) ЛОДУ2 в зависимости от корней
	характеристического уравнения?

13.Разъяснить правило отыскания частного решения линейного уравнения с правой частью f(x)=A·emx, f(x)= Pn (x)·emx .

14.Какое уравнение называется характеристическим уравнением для линейного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами?

15.Каков геометрический смысл начальных условий для ДУ 2 ?

16.Какова структура общего решения ЛОДУ2 ?

17.	Как составляется общее решение для	ЛНДУ2 ?
18.	Разъяснить правило отыскания частного решения		ЛНДУ2	с правой частью f(x)=emx(a
	cos nx+ b sin nx)

19.В чём заключается метод вариации произвольных постоянных?

20.Какая система ДУ называется нормальной?

Раздел 8 РЯДЫ

8.1 Числовые ряды

1.Выражение

a1+a2+…aп+…=

an

n 1

называется бесконечным числовым рядом, где

an=f(n) - общий член ряда (формула бесконечной числовой последовательности).

2. Ряд называется сходящимся, если его n-я частичная сумма Sn стремится к конечному

числу S при n ,	т.е.	lim Sn	S	, S-конечное число. Если	lim Sn	S , S- конечное число,
		n			n

то ряд называется расходящимся.

3. Если ряд

an

n 1

сходится, то

lima	n
	n
n

- необходимый признак сходимости числового

ряда.

4. Первый признак сравнения (достаточный признак). Если два ряда с положительными

членами

an

n 1

и bn n 1

, причём члены

an

n 1

не превосходят соответствующих членов ряда

bn

n 1

ряда

т.е an

an

n 1

bn , то из сходимости ряда

следует расходимость ряда

bn

n 1

bn

n 1

следует сходимость

an

n 1

, а из расходимости

5. Второй признак сравнения (достаточный признак).

Если существует конечный или отличный от нуля предел отношения lim an k - конечное

n bn

число, то оба ряда одновременно сходятся или одновременно расходятся.

6. Признак Даламбера (достаточный признак).

		an 1
Если для ряда an существует lim		an 1		l	, то этот ряд сходится при l 1 и расходится
Если для ряда an существует lim				l	, то этот ряд сходится при l 1 и расходится
a 1	n a		n
			n
при l 1.
7. Признак Коши (достаточный признак).

Если для числового ряда	an существует конечный предел lim n					an	с	, то этот ряд
	n 1				n
	n 1
сходится при c< 1 и расходится при c>1.
					75

1. Интегральный признак.

Если f(x) при x 1-непрерывная положительная и монотонно убывающая функция, то

an

n 1

, где an = f(n) сходится или расходится, в зависимости от того сходится или расходится


несобственный интеграл			f (x)dx .
несобственный интеграл			f (x)dx .
		1

2. Числовой ряд ( 1)	n	an		a1 a2	a3 .... - называется знакочередующимся.
2. Числовой ряд ( 1)		an		a1 a2	a3 .... - называется знакочередующимся.
n 1
Признак Лейбница: Если абсолютные величины членов ряда убывают, а						lim an
						n

, то

знакочередующийся числовой ряд сходится, т.е. если выполняются два условия:

1)|a1| > |a2| > |a3|….

2)	liman 0, то			an	сходится.
2)	liman 0, то	( 1)	n	an	сходится.
			n
	n	n 1

3.Если Sn= a1-a2+…+(-1)n-1 an – n-я частичная сумма.

rn= (an+1-an+2 +…) - остаток ряда, тогда выполняется неравенство

rn <an+1, т.е. остаток знакочередующего ряда (rn) по абсолютной величине меньше первого в скобках члена или остаток ряда (rn) по абсолютной величине меньше абсолютной величины первого из отбрасываемых членов.

8.2 Степенные ряды. Приложения степенных рядов.

Определение. Функциональный ряд вида a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2 +

	a		x x
+…+					n	+… где a 0, a 1…a n –действительные числа (коэффициенты степенного
+…+		n		0

ряда) называется степенным рядом. a 0 +a 1 x+ a 2 x2 +a 3 x3 +

+…+an xn +…частный случай степенного ряда.

R lim	a		n


n a		n 1

-формула для нахождения радиуса сходимости сте-пенного ряда.

-интервал сходимости

xстепенного ряда

-интервал сходимости степенного

ряда x

Интервал0 сходимости можно находить, применяя непосредственно признак Даламбера или признак Коши:

	u		1
lim	n 1
	u
x		n

или

limn	u	n
n		n
n

где Un=an(x-x0)n	или Un=an xn
Всякая функция f(x), бесконечно дифференцируемая в интервале
(x0-R,x0+R), может быть разложена в ряд Тейлора:
				f (x		)						f (x			)										f	(n)		(x			)
																										(n)
f (x)	f (x		)		0		(x x			)				0		(x x					)	2	...							0		(x x		)	n	...
f (x)	f (x	0	)	1!			(x x		0	)			2!			(x x				0	)		...				n!					(x x	0	)		...
		0							0											0													0

или в ряд Маклорена:
		f (x) f (0)						f (0)			x		f (0)				x	2	...					f (n)	(0)		xn		....
		f (x) f (0)						1!			x		2!				x		...					n!			xn		....
								1!					2!											n!

На практике часто приходится прибегать к приближённым вычислениям, основанным на разложении некоторой функции в степенной ряд и последующей замене ряда конечной суммой с требуемой точностью. При вычислении определённых интегралов, решении дифференциальных уравнений также применяют разложение соответствующих функций в степенные ряды.

8.3 Примеры решения задач

																		2		22			23							2n
Задача1. Исследовать сходимость ряда:																									....							....
Задача1. Исследовать сходимость ряда:																		1		10				10	....						10	....
																		1		2			3							n
Решение: Применим признак Даламбера:
		2		n				2		n 1					a					2	n 1				n	10				2n			10
a		2			; a			2						;	a	n 1				2					n					2n					;
a					; a									;																					;

	n	n	10			n 1		(n 1)				10			a				(n 1)				10		2		n		(n 1)					10
		n						(n 1)							a		n		(n 1)						2				(n 1)
																	n
						l lim			an 1				lim						2n10			lim						2					2
						l lim							lim					(n 1)10				lim						1					2
							n a								n			(n 1)10						n			(1	1			10
											n																(1	n)

Т.к. l > 1, то ряд расходится.

	1
Задача 2. Исследовать сходимость ряда		.
	2
n 1	n

Решение: Имеем

a		1		,
	n	n	2

следовательно,

f (x)

1
x	2

-непрерывная, положительная и

монотонно убывающая функция при x ≥1. Применим интегральный признак сходимости.

	dx	1	1 Несобственный интеграл сходится (является конечной величиной),

	2	x
1	x		1

поэтому сходится и данный ряд.

3n xn

Задача 3 Найти область сходимости степенного ряда

n 1 2n n

Решение: Данный степенной ряд можно записать так:

3x	3		2	x	2	3		3	x	3	3		n	x	n	3		n 1	x	n 1
										...											...
		2					3					n					n 1		n 1
2 1	2				2	2				3	2				n	2

Применяем признак Даламбера:

(1)

n 1

lim

n 1

lim

x .

n 1

Как видно, ряд будет сходиться для тех значений х, для которых

	3	x 1,
	2	x 1,
	2

или

	x	2
	x	3,
		3,

или	2	x	2
	3		3.

Выясним вопрос о сходимости ряда на концах интервала. При

1	1	1	1	...
1	2	3	4

	x	2
	x	3
		3

ряд (1) примет вид:

(2)

Ряд (2) является знакочередующимся; его общий член по абсолютному значению стремится к нулю при n . По признаку Лейбница о сходимости знакочередующихся

рядов заключаем, что ряд (2) сходится. Следовательно, значение x 23 принадлежит

области сходимости данного ряда.

Подставив в (1)	x	2	, получим:	1	1	1	1	.... (3)
		3
				1	2	3	4

Ряд (3) расходится

Следовательно, значение

(для

	x	2
	x	3
		3

этого достаточно сравнить его с гармоническим рядом).

не принадлежит области сходимости данного ряда. Таким

образом,

2 x 2

3 3

— область

сходимости исследуемого ряда.

Задача 4. Вычислить интеграл

1
2	sin 2x
	sin 2x	dx
	x	dx
0	x
0

с точностью до 0,001.

Решение: Предварительно представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Используя известное разложение в степенной ряд функции sin х,

будем иметь:

																			(2x)				3				(2x)			5		(2x)	7
									sin 2x 2x										(2x)								(2x)					(2x)	...
									sin 2x 2x													3!							5!			7!	...
																						3!							5!			7!
Тогда				sin 2x					2				23 x2					25 x4							27 x6					...;
Тогда						x			2					3!							5!									...;
						x								3!							5!							7!
1								1
2	sin 2x							2				2	3	x	2		2		5	x		4		2	7		x		6
	sin 2x			dx (2								2		x			2			x				2			x		...)dx
		x		dx (2									3!						5!							7!			...)dx
0		x						0					3!						5!							7!
0								0
						3		3			5			5			7				7					1		2
					2	3	x	3		2	5		x	5		2	7		x		7							2				1	1	1
		2x			2		x			2			x			2			x										1			1	1	1	...
		2x																					...						1						...
					3!		3			5!			5			7!				7											3!3		5!5	7!7
					3!		3			5!			5			7!				7						0					3!3		5!5	7!7
																										0
	1		1				1					1			...
	1														...
		18				600				35280

Мы получили знакочередующийся ряд, который удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Так как в полученном ряде четвертый член по абсолютному значению меньше 0,001, то ограничиваемся только первыми тремя членами.

	1

	2	sin 2x		1	1
Итак,			dx 1			1 0,0556 0,0017 0,946
Итак,		x	dx 1	18	600	1 0,0556 0,0017 0,946
	0

Задача 5. Найти первые три (отличные от нуля) члена разложения в ряд Маклорена функции у(х), являющейся частным решением дифференциального уравнения у' =x+ х2

— y2+cos x, если у(0)=1.

Решение: Положим, что y(x) является решением данного дифференциального уравнения при указанных начальных условиях. Если y(x) допускает разложение в ряд Маклорена, то имеем:

y(x) y(0)	y (0)	x	y (0)	x	2	y (0)	x	3	...

	1!		2!			3!

(1)

Свободный член разложения (1), т.е. y(0), дан по условию. Чтобы найти значения	y	/

(0), y // (0), y /// (0),…,можно данное уравнение последо-вательно дифференцировать по переменной x и затем вычислить значения производных при x=0.

Значение y(0) получаем, подставив начальные условия в данное уравнение:

y (0)=0+0-1+1=0; y (0)=0
y (x)=1+2x-2yy -sin x - производная данного уравнения	(2)
y (0)=1+0-0-0=1;
y (x)=2-2(y)2-2yy -cosx - производная уравнения

y(0)=2-0-2-1= -1.

…………………..

Подставив найденные значения производных при x=0 в (1), получим разложение

искомого частного решения заданного уравнения:

y(x) 1	0	x	1	x	2	1	x	3	....

	1!		2!			3!

		или

y(x) 1	1	x	2	1	x	3	...

	2			6

8.4Вопросы для самопроверки

1.Какое выражение называется числовым рядом с положительными членами?

2.Знакочередующимся числовым рядом?

3.Что понимается под суммой сходящегося числового ряда?

4.Можно ли утверждать, что ряд сходится, если предел его общего члена равен нулю при n ?

5.В чём состоит признак Даламбера?

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
22.11.20192.59 Mб14линия по пр-ву плавлен.сыра.doc
#
22.11.2019292.62 Кб8линия по сыру.docx
#
22.11.20195.47 Mб8линия по творогу.doc
#
14.04.2015135.17 Кб21лист достижения.doc
#
04.09.2019293.38 Кб13ЛР 3 Молотковые дробилки МШ Л.Р.№3.doc
#
14.04.20152.31 Mб39Математика 3 семестр.pdf
#
18.04.2019515.07 Кб12Мелиорация курсовая.doc
#
14.04.2015351.23 Кб95мелиорация.doc
#
23.09.201956.35 Кб5Менеджмент - методичка по курсовой.docx
#
14.04.201555.63 Кб7Мет указ по контр.раб для заочников.docx
#
22.11.2019108.54 Кб3МЕТЕОРОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ.doc