Математика 3 семестр

Замечание. Если предел несобственного интеграла существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся.

Если же предел не существует или равен бесконечности, то интеграл называется расходящимся.

6.5 Приложения определённого интеграла по a;b

ограничивающая криволинейную трапецию, aABbкриволинейная трапеция.

y

B

A

в полярных координатах, где r = r(a) - уравнение кривой.

61

Если криволинейная трапеция вращается вокруг оси OX, то объём тела вращения

6. Статические моменты и моменты инерции дуги плоской кривой y=f(x), (a x b) вычисляются по формулам (соответственно):

7. Координаты центра тяжести однородной дуги плоской кривой y=f(x) (a x b) выражаются формулами:

6. 6 Примеры решения задач

d3x

62

4.В числителе подынтегральной дроби прибавили (+1) и (-1). 5.Использовано свойство:

U V dx Udx Vdx

6.Применили табличные формулы:

63

Задача 4. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y=4x-x2 и осью ОХ.

Решение:

Задача 6. Найти статический момент и момент инерции полуокружности y r 2 x2 ,

(-r x r) относительно оси OX. Решение.

64

В силу симметрии достаточно вычислить одну четверть искомой площади, а затем учетверить результат.

6.7Вопросы для самопроверки

1.Дайте определение первообразной функции неопределённого интеграла. Приведите примеры.

2.Сформулировать свойства неопределённого интеграла.

3.В чём заключается геометрический смысл неопределённого интеграла?

4.Назовите основные методы интегрирования.

6.Примените формулу интегрирования по частям к интегралу:

J xarctgxdx

7.Объяснить, почему ∫x2cos x3dx решается способом подведения функции под знак дифференциала. Можно ли решить этот интеграл методом подстановки

8.Запишите формулу интегральной суммы функции f(x) на a;b .

9.Сформулируйте определение определённого интеграла по a;b

65

12. Дайте определение несобственного интеграла.

14.Геометрический смысл несобственных интегралов.

15.В каких задачах используются определённые интегралы по отрезку a;b в геометрии?

16.В механике?

Раздел 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

7.1 Определение дифференциального уравнения первого порядка

1.Определение. Равенство, связывающее независимую переменную х, функцию у и

производные (или дифференциалы) этой функции называются дифференциальным уравнением первого порядка ( DY1) т.е.

F (x,y,y')=0 или y'=f (x,y)

Решить дифференциальное уравнение первого порядка – значит, найти неизвестную

функцию y.

2.Общим решением дифференциального уравнения первого порядка y f x, y

называется функция y= (x,c), где C- постоянная, которая при подстановке в дифференциальное уравнение первого порядка обращает его в тождество. На плоскости

XOY общее решение y= (x,c) выражает семейство интегральных кривых.

3. Всякое решение y= ( x,С0) полученное из общего решения при конкретном значении

С=С0 называется частным решением дифференциального уравнения первого порядка.

4. Задача отыскания частного решения дифференциального уравнения первого порядка

66

1)Методом Бернулли ( с помощью подстановки y = иv, где u и v-пока неизвестные

функции)

2)Методом Лагранжа, варьируя произвольную постоянную.

67

y= (x,c1,c2,…,cn )- общее решение ДУn, где x-аргумент, c1,c2…,cn – произвольные

постоянные.

Задача Коши.

Задача Коши находит частное решение ДУn.

y(n)=f(x).Решение этого уравнения находится n-кратным интегрированием данного уравнения.

y"= f(x, y') или F (x, y', y")=0- уравнение не содержит переменную y (искомую функцию).

Решается подстановкой y'= P (x), y"= P' (x)

y"= f (y,y') или F (y, y', y")=0 - уравнение не содержит переменную x (аргумент).

Решается подстановкой y'= P (y), y"= P' (y) y' или y"=P'· P

y"+py'+qy=f(x)- линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами p и q.

уравнением 2-го порядка ( ЛНДУ2 )

Если f(x) 0, то уравнение называется линейным однородным дифференциальным

уравнением 2-го порядка ( ЛОДУ2 ).

Система ДУ вида:

где x1, x2, x3,…,xn- неизвестные функции независимой переменной t называется нормальной системой.

Иногда нормальную систему удаётся свести к одному ДУn, содержащему одну неизвестную функцию методом исключения других неизвестных.

В некоторых случаях после несложных преобразований удаётся получить легко интегрируемые уравнения.

7.3. Примеры решения задач

68

Решение: Данное уравнение с разделяющимися переменными.

Решение: Данное уравнение является однородным, так как коэффициенты при dx и dy

суть однородные функции одного и того же измерения (второго) относительно переменных x и y. Применяем подстановку y=xt, где t- некоторая функция аргумента x. Если y= xt, то дифференциал dy = d(xt) = tdx+ xdt, и данное уравнение примет вид:

2xxtdt+(x²t²-x²) (tdx+xdt)= 0

Сократив на x², будем иметь:

2tdx+(t²-1) (tdx+xdt)=0 2tdx+(t²-1 ) tdx+x (t²-1)dt=0 t(2+t²-1) dx+x (t²-1)dt=0

Мы получили уравнение с разделёнными переменными относительно x и t. Интегрируя,

находим общее решение этого уравнения:

69

Задача 3. Найти общее решение уравнения y'-y tg x=2 xsec x.

Решение: Данное уравнение является линейным, так как оно содержит искомую функцию y и её производную y' в первой степени и не содержит их произведений.

Применяем подстановку y= uv, где u и v –некоторые неизвестные функции аргумента x. Если y=uv, то y'= (uv)'= u'v+uv' и данное уравнение примет вид: u'v+uv'-uvtg x= 2x sec x,

Так как искомая функция y представлена в виде произведения двух других неизвестных функций, то одну из них можно выбрать произвольно. Выберем функцию u так, чтобы выражение, стоящее в круглых скобках левой части неравенства (1), обращалось в нуль, т.е

Уравнение (2) есть уравнение с разделяющимися переменными относительно u и x. Решим это уравнение:

(Чтобы равенство (2) имело место, достаточно найти одно какое-либо частное решение,

удовлетворяющее этому уравнению. Поэтому для простоты при интегрировании этого уравнения находим то частное решение, которое соответствует значению произвольной постоянной C=0.) Подставив в (3) найденное выражение для u, получим:

y=secx(x²+C) - общее решение данного уравнения.

70